微分方程式の積分定数について

dx/dt = (x^2-1)/t …… (1)
　　∫1/(x^2-1) dx = ∫1/t dt
　　(x^2-1) = 1/2( 1/(x-1)-1/(x+1) )

　　(1/2)∫1/(x-1)-1/(x+1)dx =∫1/t dt
　　1/2 (log|x-1|-log|x+1|)=log|t| + A
　　(log|x-1|-log|x+1|) = 2log|t| + 2logA
　　log|(x-1)/(x+1)| = 2logA|t| = log(A|t|)^2
　　|(x-1)/(x+1)| = A^2|t|^2 = Bt^2
　　(x-1)/(x+1) = ±Bt^2 = Ct^2
　　x - 1 = (x+1)Ct^2
　　x(1-Ct^2) = Ct^2 + 1
　　
　　∴x = (Ct^2+1)/(1-Ct^2 ) = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1) …… (2)

　ところが x = ±1 も(1)の解であり、x = 1 の場合
　　C = 0 ⇒ x = 1
で問題ないのですが、x = -1 のときの積分定数がわかりません。C → ∞のような気がするのですが、そのとき(2)は
　　-∞/∞
になってしまいます。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/14 11:53

No.2へのコメントについてです。

> こういうときの解答の仕方としては

　なーんだ、テスト勉強でしたか。
　0でないt全域を定義域とする(1)の問題の解は2つある。x(t)=1とx(t)=-1です。
　では、0でないt全域から-1と1を除いた定義域における(1)の解は(2)か。違います。t＜-1のとき、-1＜t＜0, 0＜t＜1のとき、1＜tのとき、のそれぞれの区間で(2)のCの値が共通である必要はない。言い換えれば、(1)をそれぞれの定義域（t＜-1のとき、-1＜t＜0, 0＜t＜1のとき、1＜tのとき）についての別々の問題だと捉えると、それぞれ個別に解がある（どれもx(t)=1か、x(t)=-1か、あるいは(2)の形をしているけど）ということですね。たとえば
　　x(t) = if t＜-1 then -(t^2+1)/(t^2-1)
　　　　　if -1＜t＜0 then -1
　　　　　if 0＜t＜1 then 1
　　　　　if 1＜t then -(-3t^2+1)/(-3t^2-1)
というのでも解に違いない。
　解答では、そういう状況を正確に記述すればいいんです。
　なお、ある関数が解になっていることを示すには方程式に代入して検算すればいいだけですが、一般に、ほかに解がないということの証明には頭を使う。でも同値変形（式同士が必要十分条件）であれば導出自体が証明になっている。定義域を明確にして区別して扱えば同値変形ができそうですね。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2023/07/14 22:34

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/13 11:12

lim_{C→∞}-(Ct^2+1)/(Ct^2-1)

=lim_{C→∞}-(Ct^2-1+2)/(Ct^2-1)
=lim_{C→∞}-1-{2/(Ct^2-1)}
=
-1

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/13 10:46

#2さんの通りと思いますが、解いて関係づければ

　x=-(Ct²+1)/(Ct²-1)=-(t²+1/C)/(t²-1/C) → -t²/t²=-1

この回答へのお礼

ああ、確かにそうですね。

お礼日時：2023/07/13 11:13

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/13 09:55

x(t)=1やx(t)=-1のときに(1)の次の行が意味をなすかどうかを考えてみれば、(2)は出てこないでしょ。

てことは、これらは(2)式とは別口の解だってことです。

この回答へのお礼

> これらは(2)式とは別口の解だってことです。
　こういうときの解答の仕方としては、x = ±1 を直接(1)に代入して満たすことを確認するだけでいいのでしょうか？

お礼日時：2023/07/13 11:17

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/07/13 08:42

私もです。