複素関数

実数a,bに対してf(z)＝ax+by+i(x+y)と置き、z＝x+yiとし、f(z)がC上正則のときa,bを求めよ。という問題を教えていただきたいです。i＝√-1、Cは複素数全体集合でコーシーリーマンの関係式を使うパターンと使わないパターンで解けと指示があります。コーシーリーマンの関係式を使う方は解けたのですが、使ってはいけないとなると解き方が分かりません。コーシーリーマンの関係式を使ってはいけないので正則なら実部と虚部が調和関数ということも使ってはいけないと思っています。

今まで考えたことは次のような感じです。
まずf(z)を変形して右辺を(a+i)x+(b+i)yにする。次に正則関数の和は正則関数、正則関数の実数倍は正則関数を用いてa+iやb+iが正則になればいい。

ここまでです。a+iのように簡単に出来ても正則になるaの求め方が分かりません。領域内の全ての点で微分可能をどのように示せばいいのかの考え方や正則のイメージも教えていただけると有難いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/24 00:41

複素関数は微分可能＝正則。

微分の定義にもとづいて
一回微分可能かどうかを確認すればよい。
h = p+qi (p,q は実数) として
{ f(z+h) - f(z) }/h = { (a(x+p)+b(y+q)+i(x+p+y+q)) - (ax+by+i(x+y)) }/(p+qi)
　　　　　　　　= { (ap+bq)+i(p+q)) }/(p+qi)
　　　　　　　　= { (ap+bq)+i(p+q)) }(p-qi)/(p+qi)(p-qi)
　　　　　　　　= (ap^2 + (b+1)pq + q^2)/(p^2 + q^2)
　　　　　　　　　+ i (p^2 + (1-a)pq - bq^2)/(p^2 + q^2).
これが (p,q)→(0,0) のとき収束するためには、
(ap^2 + (b+1)pq + q^2)/(p^2 + q^2) と
(p^2 + (1-a)pq - bq^2)/(p^2 + q^2) の両方が収束することが必要十分。

(p,q) = r(cosθ,sinθ) で変数変換すれば、
(ap^2 + (b+1)pq + q^2)/(p^2 + q^2)
　= a(cosθ)^2 + (b+1)(cosθ)(sinθ) + (sinθ)^2
　= a{1+cos(２θ)}/2 + (b+1)sin(2θ)/2 + {1-cos(2θ)}/2
　= (1/2){ (a+1) + (a-1)cos(２θ) + (b+1)sin(2θ) },
(p^2 + (1-a)pq - bq^2)/(p^2 + q^2)
　= 1(cosθ)^2 + (1-a)(cosθ)(sinθ) - b(sinθ)^2
　= 1{1+cos(２θ)}/2 + (1-a)sin(2θ)/2 - b{1-cos(2θ)}/2
　= (1/2){ (1-b) + (1+b)cos(２θ) + (1-a)sin(2θ) }.
この両者が θ の内容によらない定数であることが条件である。
すなわち、 a-1 = b+1 = 1+b = 1-a = 0 であること。
答えは a = 1, b = -1 になる。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/24 16:45

x=(z+z*)/2 , y=(z-z*)/i なので

　f={a+1+i(1-b)}z/2+{a-1+i(1+b)}z*/2

したがって
　df/dz={a+1+i(1-b)}/2+{a-1+i(1+b)}/2・dz*/dz・・・・①

ところが、x軸上の微分なら z=x, y=0 なので
　dz*/dz=1
y軸の微分なら z=iy, x=0 で
　dz*/dz=-1
したがって、dz*/dz は微分不可能なので、①が微分可能となるには
　a-1+i(1+b)=0
となるしかない。つまり
　a=1 , b=-1