Mを位相空間とする。p∈Mを任意にとる。{p}はMのコンパクト部分集合ですか？

Mを位相空間とする。p∈Mを任意にとる。{p}はMのコンパクト部分集合ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/11/03 08:46

コンパクトの定義から有限集合は常にコンパクトです。

任意の開被覆に対して、各点を含む開集合を一つずつとれば、それらが有限開被覆になるからです。
一点集合{p}も有限集合ですからコンパクトです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/03 13:42

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/03 05:58

Xの任意の開被覆Sに対し,Sのある有限部分集合Tが存在し,TはXを被覆する時

Xはコンパクトというのだから

{p}の任意の開被覆Sに対して
p∈{p}⊂∪_{G∈S}G
だから
p∈G1∈S
となるG1が存在するから
T={G1}
とすると
T={G1}⊂S
TはSの有限部分集合で
{p}⊂G1=∪_{G1∈T}G1⊂∪_{G∈S}G
Tは{p}を被覆するから
∴
{p}はコンパクトである

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/03 13:42