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No.2
- 回答日時:
(X,O)をコンパクト空間とする.
Xの開被覆C={Ui;i∈N}について,
任意のi∈Nに対して,Ui ⊂Ui+1が成 り立つとする
(X,O)はコンパクトだから
Cの有限部分開被覆
{Ui}_{i=1~n} が存在して
X⊂∪_{i=1~n}Ui
となる
k=1のときU_{n-k+1}=Un⊂Unが成り立つ
1≦k≦n-1となるある自然数kに対して
U_{n-k+1}⊂Un
が成り立つと仮定すると
U_{n-(k+1)+1}=U_{n-k}⊂U_{n-k+1}
↓これとU_{n-k+1}⊂Unから
U_{n-(k+1)+1}⊂Un
が成り立つから
1≦k≦nとなるすべての自然数kに対して
U_{n-k+1}⊂Un
が成り立つから
1≦i≦nとなるすべての自然数iに対して
Ui⊂Un
が成り立つから
∪_{i=1~n}Ui⊂Un
↓これとX⊂∪_{i=1~n}Uiから
X⊂Un
↓Un⊂Xだから
X=Un
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