統計学の問題です。どうか教えてください。 線形回帰モデルYi=β0+β1xi+ui(i=1,2,..

統計学の問題です。どうか教えてください。

線形回帰モデルYi=β0+β1xi+ui(i=1,2,...,n)
において、誤差項uiに標準的に仮定される性質が満たされていない場合、生じうるものをひとつ選びなさい。

1.uiの期待値は0となる。
2.xiが大きくても小さくても、Yiのバラツキは一定となる。
3. 無作為にYiとYj（ただし、i≠j）を抽出したとき、共分散Cov(Yi,Yj)の値は0となる。
4. uiの分布は、正規分布となる。
5 .xiが大きいほど、uiの値は大きくなる。

答えは何ですか？理由も教えてください。

私は「性質が満たされていない」ので、５番が一番正しいと思いました。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/18 02:00

#4です。

#4は何を言いたかったかと言うと、一般的に誤差は正規分布だと仮定されるので、設問のごとく「ガウス・マルコフの誤差の仮定」に従わなくとも、誤差は正規分布です。
これは中心極限定理で証明できます。

つまり、#1さんの最初の回答「４．uiの分布は、正規分布となる」は、正しいということです。
「ガウス・マルコフの誤差の仮定」に従わないときは、xiに依らずσ一定（等分散）にはなりません。
でも、４の記述中にσの大きさについての言及はありません。
「等分散になる」なら間違いですが、「正規分布になる」だったら正解なのです。

解答は、４か５か。

もし、正解が分かっていたら教えて下さい。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/17 09:45

ついでに、

線形回帰モデル（一般線形モデル）でなくても、一般的に誤差に関しては常に正規分布（ガウスの誤差関数）が適用されます。
もちろん例外もあります。ただ、その時は断り書きがあるはずです。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/17 02:15

#2です。

生じ「うる」ものを選べだから、その他のケースがあっても良いのかも。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/17 02:10

一般線形モデルにおいて「誤差項uiに標準的に仮定される性質」とは、

次のルールです。以下では誤差はεとしています。

「ガウス・マルコフの定理」：誤差に関する4つの仮定
①不偏性　：E(εi)＝0（誤差の期待値は0）
②外生性　：Cov(Xi,εi)＝E(εi|Xi)＝0（誤差は説明変数とは無相関であり不偏）
③等分散性：Var(εi)＝σ^2（誤差はどこでもσ^2）
④独立性　：Cov(εi,εj)＝0（誤差どおしは無相関）

①②でOLSが不偏推定量に
③④でOLSがBLUE（最良線形不偏推定量）になる。というものです。

OLSがBLUEとは、簡単に言えば、最小2乗法で求めた解（OLS）が最尤法で求めた解と一致するということです。

これに沿って、設問について検討すると、

記述１は①に該当するので間違い。
記述２は③に〃
記述３は④に〃
記述４は微妙。なぜならσ一定だとは言っていないから。σ一定なら③に該当するので間違い。
記述５は②に反するので、５だと考えられるが、常に「xiが大きいほど、uiの値は大きくなる」わけではないので微妙。残差プロットを観察すると両端が膨らんでいたり、Vの字になっていたり、色々なケースが現れます。

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/16 13:22

線形回帰モデルにおいて、誤差項の性質に関する選択肢から正しいものを選ぶ問題ですね。

正しい選択肢は次の通りです。

uiの分布は、正規分布となる。
理由は以下の通りです。

uiの期待値は0となる。
この性質は線形回帰モデルの仮定の一部です。誤差項の期待値は0であると仮定されています。

xiが大きくても小さくても、Yiのバラツキは一定となる。
この性質は、ホモスケダスティシティ（等分散性）と呼ばれます。誤差項のバラツキが説明変数の値に依存せず一定であるという仮定です。

無作為にYiとYj（ただし、i≠j）を抽出したとき、共分散Cov(Yi,Yj)の値は0となる。
この性質は無相関性と呼ばれます。異なる観測値間の誤差項の共分散が0であるという仮定です。

uiの分布は、正規分布となる。
これは線形回帰モデルにおける誤差項の一般的な仮定です。正規分布に従うと仮定されることが多いですが、性質が満たされていなくても線形回帰モデルは適用可能です。

xiが大きいほど、uiの値は大きくなる。
この性質は、誤差項が説明変数の値に依存し、大きな影響を受けることを意味します。しかし、線形回帰モデルでは誤差項の大きさが説明変数の値に依存するとは限りません。したがって、性質が満たされていないとは言えません。

したがって、正しい答えは「5. xiが大きいほど、uiの値は大きくなる」となります。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
正しい選択肢を、初めは4、最後は5だとおっしゃいましたが、正解はどちらになりますか？

お礼日時：2023/06/16 13:59