１次式の線形回帰

１次式の線形回帰の計算で、直線の傾きのaの係数を求める式ですが、
①式が導入された後の、

a = {nΣ(yi*xi) - Σxi * Σyi} / {nΣ(xi)^2 - (Σxi)^2}　　①

= Σ(xi - 1/n * Σxi)(yi - 1/n * Σyi) / Σ(xi - n/1 * Σxi)^2　　②

①式から②式への式変形がどうやって証明したら良いのか分かりません。

分かる方、教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/10 18:55

そもそもが、観測値 (xi, yi) に対して

　y = ax + b
という回帰式を「最小二乗法」で求めようという話ですよね？

①から②へは、単純な算術的変形というよりは
　(1/n)Σxi = μx　（x の平均値）　　　　　(a)
　(1/n)Σyi = μy　（y の平均値）　　　　　(b)
という関係を使います。

①の分子は

　nΣ(yi*xi) - Σxi*Σyi
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - (1/n)Σxi*(1/n)Σyi]　←n^2 でくくる
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - μx*μy]　　　　←(a)(b) を使った
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - (1/n)Σ(μx*μy)]　←Σ(μx*μy) = nμx*μy
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi - μx*μy)]　　　　←Σ をまとめた
= nΣ(yi*xi - μx*μy - μx*μy + μx*μy)　←μx*μy をダミーに分解
= nΣ(yi*xi - xi*μy - μx*yi + μx*μy)　　←Σxi = Σμx, Σyi = Σμy
= nΣ[xi(yi - μy) - μx(yi - μy)]　　←共通項でくくる
= nΣ[(xi - μx)(yi - μy)]
= nΣ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]}　　(c)　　　←(a)(b) を元に戻した

①の分母は

　nΣ(xi)^2 - (Σxi)^2
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - [(1/n)(Σxi)]^2}　←n^2 でくくる
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - μx^2}　　　　←(a) を使った
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - (1/n)Σμx^2]}　　←Σ(μx*μy) = nμx*μy
= n^2{(1/n)Σ[(xi)^2 - μx^2]}　　　　←Σ をまとめた
= nΣ[(xi)^2 - μx^2]
= nΣ[(xi)^2 - 2μx^2 + μx^2]　←μx^2 をダミーに分解
= nΣ[(xi)^2 - 2xi*μx + μx^2]　　←Σxi = Σμx
= nΣ[xi - μx^2]^2
= nΣ[xi - (1/n)Σxi]^2　　(d)　　　←(a) を元に戻した

(c)(d) を使って

① = nΣ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]} / nΣ[xi - (1/n)Σxi]^2
　= Σ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]} / Σ[xi - (1/n)Σxi]^2
　= ②

この回答へのお礼

② -> ①の変形は簡単ですが、① -> ②の変形は大変ですね^^;
ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/10 19:31