積分で面積を求める問題について

次の曲線、直線で囲まれた部分の面積を求めよ。

x+5y=6 , y=2x/(x^2+1)

この問題の解き方がわかりません。
説明お願いします。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/15 22:46

f(x)=(6-x)/5 , g(x)=2x/(x^2+1)

とすると
　f(x)=g(x) → x³-6x²+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
したがって、
　f-g は x=1～2で負、2～３で正となるから、

　S=-∫[1→2] (f-g) dx + ∫[2→3] (f-g) dx
が求める面積となる。

　∫(f-g)dx=∫{ (6-x)/5 -2x/(x²+1) }dx
　　=(6x-x²/2)/5-log|x²+1|
　　=(6/5)x-x²/10-log(x²+1)
だから

　S=-[(6/5)x-x²/10-log(x²+1)][2,1]+[(6/5)x-x²/10-log(x²+1)] [3,2]
　　=-{12/5-2/5-log5}+{6/5-1/10-log2}
　　　+{18/5-9/10-log10}-{12/5-2/5-lo5}

　　=-2{2-log5}+{(11/10)-log2} + {27/10-log10}
　　=-4+2log5+11/10-log2 + 27/10- log10

　　=-4+38/10+2log5-log2 - (log2+log5)
　　=-1/5+log5-2log2
　　=-1/5+log(5/4)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/15 21:56

直線:x+5y=6

曲線:y=2x/(1+x^2)
で囲まれた部分の面積をSとする

直線と曲線の交点を(x,y)とすると
5y=6-x
2x/(1+x^2)=y=(6-x)/5
2x/(1+x^2)=(6-x)/5
10x=(1+x^2)(6-x)
10x=6-x+6x^2-x^3
x^3-6x^2+11x-6=0
(x-1)(x-2)(x-3)=0
x=1の時y=1
x=2の時y=4/5
x=3の時y=3/5

1<x<2の時2x/(1+x^2)>(6-x)/5
2<x<3の時2x/(1+x^2)<(6-x)/5

F(x)=∫{2x/(1+x^2)}dx
とすると
F(x)=log(1+x^2)

G(x)=∫{(6-x)/5}dx
とすると
G(x)=x(12-x)/10

F(1)=log(2)
F(2)=log(5)
F(3)=log(10)
G(1)=11/10
G(2)=2
G(3)=27/10

S
=∫_{1～2}{2x/(1+x^2)-(6-x)/5}dx+∫_{2～3}{(6-x)/5-2x/(1+x^2)}dx
=∫_{1～2}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{1～2}{(6-x)/5}dx+∫_{2～3}{(6-x)/5}dx-∫_{2～3}{2x/(1+x^2)}dx
=∫_{1～2}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{2～3}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{1～2}{(6-x)/5}dx+∫_{2～3}{(6-x)/5}dx
=F(2)-F(1)-F(3)+F(2)-G(2)+G(1)+G(3)-G(2)
=2F(2)-F(1)-F(3)+G(1)+G(3)-2G(2)
=2log(5)-log(2)-log(10)+11/10+27/10-4
=2log(5)-log(2)-log(2)-log(5)+38/10-4
=log(5)-2log(2)+19/5-4
=log(5)-log(4)-(1/5)
=
{log(5/4)}-(1/5)