図のように、一辺の長さが1の正方形Aに内接し、かつ、30°傾いた正方形を正方形Bとする。同様に、正方

図のように、一辺の長さが1の正方形Aに内接し、かつ、30°傾いた正方形を正方形Bとする。同様に、正方形Bに内接し、30°傾いた正方形を正方形Cとすると、正方形Cの1辺の長さCとして正しいのは。
答え4−2√3

この過程で正方形Aと正方形Bの相似比が√3＋1／2：1となるのですが、そこから正方形Aの一辺の長さが（√3＋1／2）²c＝2＋√3／2 ×c（このcは分数の線の横にあった）
とわかるのは何故ですか？
何故2乗するのですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/02/05 20:35

正方形A、B、Cの一辺の長さをそれぞれ、a , b , c とします。

a：b=(√3+1)/2：1…①
b：c=(√3+1)/2：1…②

①と②の b をそろえるように①を変形すると、
a：b=(√3+1)/2：1={(√3+1)/2}²：(√3+1)/2…①’

①’と②より、
a：b：c={(√3+1)/2}²：(√3+1)/2：１
これより、
a：c={(√3+1)/2}²：１
よって、
a={(√3+1)/2}²c={(3+2√3+1)/4}c={(2+√3)/2}c

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/03 17:55

Bの辺の長さをb、Aの辺の長さをaとすると

a=bsin30°+bcos30°
b=a/(1/2+√3/2)=2a/(1+√3)=(√3-1)a
b/a=√3-1

b=csin30°+ccos30°
同じことだから
c/b=√3-1
→c=(√3-1)²a

c=(√3-1)²a=(4-2√3)a=4-2√3

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/03 11:20

No.3 です。

ああ、お書きの
　[(1 + √3)/2]² c = [(2 + √3)/2] c
は、単に左辺を整理して右辺にしただけですね？

勘違いしました。

#3 に書いた

＞質問にお書きの「正方形Aの一辺の長さ」の式は、⑤と④なので
＞　(Aの辺の長さ) = [(1 + √3)/2]² c = [(1 + √3)/2]b = 1
＞ではありませんか？
＞うしろは「c」ではなくて「b」。

の4行は無視してください。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/03 11:16

Aの辺の長さ：Bの辺の長さ = Bの辺の長さ：Cの辺の長さ　　　①

となるのは分かりますね？
相似比が同じですから。

相似比を k とすれば

(Aの辺の長さ) / (Bの辺の長さ) = (Bの辺の長さ) / (Cの辺の長さ) = k　　②

ということです。

②の式を使えば
(Bの辺の長さ) / (Cの辺の長さ) = k
から
　(Bの辺の長さ) = k(Cの辺の長さ)　　　③

(Aの辺の長さ) / (Bの辺の長さ) =k
から
　(Aの辺の長さ) = k(Bの辺の長さ)　　　④

④に③を代入すれば
　(Aの辺の長さ) = k²(Cの辺の長さ)　　　⑤
になります。

⑤の式は、相似比の2乗がかかりますよね。

質問にお書きの「正方形Aの一辺の長さ」の式は、⑤と④なので
　(Aの辺の長さ) = [(1 + √3)/2]² c = [(1 + √3)/2]b = 1
ではありませんか？
うしろは「c」ではなくて「b」。

これより
　c = 1/[(1 + √3)/2]² = 4/[1 + 2√3 + 3]
　= 4/(4 + 2√3)
　= 2/(2 + √3)
　= 2(2 - √3)/[(2 + √3)(2 - √3)]
　= 2(2 - √3)/[4 - 3]
　= 2(2 - √3)
　= 4 - 2√3

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/03 11:07

BがAから30度傾いているのと全くおなじように

CはBから30度傾いているので
BをAと同等にまで拡大コピーすればCはBのサイズに拡大されます
しかも30の傾きはそのままです
すると、BとCの拡大コピー後の関係は
UPされた図の（拡大前の）AとBの関係と全く同じです
つまり、Bの1辺を√3＋1／2倍すればAの1辺になるなら
Cの1辺を3＋1／2倍すればBの1辺の長さになるということです
このことからCの1辺を√3＋1／2倍してBに
さらに√3＋1／2倍してAになる
すなわち　Cの(√3＋1／2)²倍はAの1辺というわけです

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/02/03 10:49

等比数列として縮小していくと、わかるからです。

１辺１の正方形に行った縮小率は、Bを１に拡大して
３０度回転すれば、最初にBに対して同じことを、
Cに対してすることになります。