行列が正則であることを示せという問題

a b c は互いに異なる定数であり、a+b+c≠0のとき
|a b c|
|b c a|
|c a b|
が正則であることを示せ
という問題を教えて下さい！

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/13 16:09

|A|

=
|a,b,c|
|b,c,a|
|c,a,b|
=
|a+b+c,b,c|
|a+b+c,c,a|
|a+b+c,a,b|
=
(a+b+c)*
|1,b,c|
|1,c,a|
|1,a,b|
=
(a+b+c)*
|1,b,c|
|0,c-b,a-c|
|0,a-b,b-c|
=
(a+b+c){-(b-c)^2-(a-b)(a-c)}
=
(a+b+c)(-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca)
=
(a+b+c){-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2}/2

a+b+c≠0
a b c は互いに異なる定数だから
a≠b→-(a-b)^2<0
b≠c→-(b-c)^2<0
c≠a→-(c-a)^2<0
-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2<0
だから
|A|=(a+b+c){-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2}/2≠0
だから
|A|≠0
だから
Aは正則

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/13 15:29

示せない。

1列に２、3列を加えると
A=
　|a+b+b b c|
　|a+b+c c a|
　|a+b+c a b|
=(a+b+c)×
　| 1 b c|
　| 1 c a|
　| 1 a b|

２列から１列を引き、３列から1列を引くと
=(a+b+c)×
　| 1 b c |
　| 0 c-b a-c |
　| 0 a-b b-c |

=(a+b+c){(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)}
=(a+b+c)(-a²-b²-c²+ab+bc+ca)
=(a+b+c)(-2a²-2b²-2c²+2ab+2bc+2ca)/2
=(a+b+c){-(a-b)²-(b-c)²-(c-a)²}/2

したがって、
　A=0 → a+b+c=0 or a=b=c
となる。

したがって、
a=b=c≠0 のとき、a+b+c=3a≠0 となるが A=0 であり
正則ではない。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/13 14:57

正則でないということは

　　(行列式) = 0
ってこと。そこで具体的に行列式を作って、それを因数分解する。すると(a+b+c)という因子が現れ、これは0でないので、結局
　　(a,b,cの二次式)=0
という形になる。
　これを、a,bが定数のcに関する二次方程式だと思って解けば、「任意に選んだ複素数a, bについて、ご質問の行列が正則でないようなc」がわかる。 （そして、「a, b, cが互いに異なる実数」となるような解はないこともわかる。）
　というわけで、a, b, cが「互いに異なる定数であり、a+b+c≠0」というだけなら、反例がある（正則でないこともある）ってこと。