楕円x^2/a^2＋y^2/b^2=1(0≦b≦a)上に点(p,q)を取る。 円C1：x^2＋y^2

楕円x^2/a^2＋y^2/b^2=1(0≦b≦a)上に点(p,q)を取る。
円C1：x^2＋y^2=a^2とx=pとの交点P1と円C2：x^2＋y^2=b^2とy=qとの交点P2を同じ象限に取る。この時、O、P1、P2が一直線上にあることを示せ。

ベクトルを利用するのかな？という考えはあるのですが、どう進めていけば良いか分かりません。
方針だけでも良いので教えていただけるとありがたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/18 15:22

P1 は C1 上の点なので (a cosθ1, a sinθ1) と置けるが、

x = p との交点だから a cosθ1 = p. よって cosθ1 = p/a.
P2 は C2 上の点なので (b cosθ2, b sinθ2) と置けるが、
y = q との交点だから b sinθ2 = q. よって sinθ2 = q/b.
(p, q) が (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 上の点なので、
(p/a)^2 + (q/b)^2 = 1 であって
(cosθ1)^2 + (sinθ2)^2 = 1.
この式を変形して、
(sinθ2)^2 = 1 - (cosθ1)^2 = (sinθ1)^2 より
sinθ2 = ±sinθ1.
そのような θ2 は、ひとつの θ1 に対して 4個あるが、
各象限に 1個づつなので、
P1 と P2 を同じ象限に取るならば θ2 = θ1 しかない。
OP1 と OP2 の偏角が共通だから、O, P1, P2 は同一直線上にある。

この回答へのお礼

偏角を利用するんですね。丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2022/07/18 15:41

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/18 15:41

「半径aの円をOを中心にタテに(b/a)倍に潰して楕円にしたのが問題の楕円で、、これをさらにOを中心にヨコに(b/a)倍に潰したら半径bの円になった」と考えてみる。

すると結局「半径aの円を円をOを中心にタテヨコ共に(b/a)倍にした結果が半径bの円だ」ということです。このとき、半径aの円の円周上の点P1は半径bの円の円周上の点P2に写るわけですが、単に円を縮小しただけなんだからOP1の方向とOP2の方向は同じですよね。