円Oの円周上に2点A,Bをとり、扇型OABを切り取ります。ただし、0°<∠AOB<180°とします。

円Oの円周上に2点A,Bをとり、扇型OABを切り取ります。ただし、0°<∠AOB<180°とします。弦AB(線分AB)には線を引いておきます。
扇型OABをある円錐の側面の展開図と考え、これを円錐に復元したとき、弦ABに引いてある線は空間内で同一平面上にあるのでしょうか？

必ず理由もお願いします。

No.18 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/03 20:36

久々に見ました。

前の説明、回りっくどいので、高校生が納得出来る様なシンプルな形にしました。

数式は書きません。切り口が平面図形にならない説明です。

図の上は展開図を半分に折った絵で、赤線が弦ABです。
弦ABと母線の交点が赤●です（代表3点に絞りました）

それを立体に組み立てて、正面の平面に正射影した図が左下点線です。
それを、元の展開図と重ねています。

・頂角は立体の正射影の方が小さくなります。
・正面の平面と平行な線は、射影も元も同じ長さになります。
・正面の平面と平行で無い線は、射影の方が元より短くなります。

これにより、左右の母線上の赤●は下方の青●へ移動します。
中央の母線上の赤●は上方の青●へ移動します（母線が短くなるから）。

青●3点は、赤直線を挟む様になる為、射影図では直線上に来なくなります。

展開図を裏返した場合も同じ事は言えるので、この立体を少し右に回転して眺めた図が、右下です。

少なくとも、青●が同一平面に乗る事は有りません。
なので、切り口は平面図形にはなり得ません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。

お礼日時：2022/07/01 22:00

No.17 回答者： syotao 回答日時： 2022/04/27 15:48

円錐面上の弦AB上の点Pの位置座標を決めるにあたって

Pのこの座標系における位置ベクトルがどうか考えます。
Pのこの座標系における位置ベクトル＝
円錐の底面の中心O’の位置ベクトル＋O’Qベクトル＋QPベクトル
の関係があり、ｉ、ｊ、ｋをそれぞれｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向の
単位ベクトルとすれば、
円錐の底面の中心O’の位置ベクトル＝ｒｉ、
　　　　　　　　　　O’Qベクトル＝ｒ(ｉcosΦ＋ｊsinΦ)
　　　　　　　　　　QPベクトル＝(Ｒ－Ｒ’)cosβ(-1)(ｉcosΦ＋ｊsinΦ)
　　　　　　　　　　　　　　　　＋(Ｒ－Ｒ’)sinβｋ
ここでQPベクトルについてはそれが円錐の中心軸OO’とPをとおる
平面内にあって大きさ（R-R'）でO'Q方向とは逆向きの単位ベクトル
(-1)(ｉcosΦ＋ｊsinΦ)に対して仰角βをなすからこの表示になります。
仰角βは、かの平面で円錐を切ったときその切り口の二等辺三角形の
底角です、したがってcosβ＝ｒ/R　です。

さて本題ですが、もし円錐上の弦ABが同一平面上にあるのならば
その弦のｚ軸に対する最低点（それはこの座標系の原点です）と
最高点（それはｚｘ平面内にありそのｚ座標＞0）をこの平面が
通らなければならないが、さらに弦ABの各点はzx平面に対して
対称に配置されるので、この平面はy軸と最高点をとおる
平面ということになります。そうすると
この平面がｚｘ平面を切り取る直線上に座標原点と最高点は含まれるが
弦ABの任意の点がこの平面上にあるのならば、その点のｚｘ平面への
正射影はやはりこの切り取られた直線上になければならない、
ということは、弦AB上の点のｚ座標とx座標の比が最高点のそれと
等しくならなくてはいけないということになります。
そこでさきほどのベクトル式からP点のｘ座標、ｚ座標はそれぞれ
ｘ＝ｒ(1＋cosΦ)－(R－R’)cosβcosΦ
ｚ＝(R－R’)sinβ　になるから、
最高点のPのx座標、y座標はΦ＝0とおいて
ｘ＝ｒ(1＋cosθ)、ｚ＝R(1－cosθ)sinβ
Φ＝π/2のときのPのx座標ｙ座標は
ｘ＝ｒ
ｚ＝Rsinβ(1－cosθ/cos(θ/2))
ここで前にあげた関係式
ｒΦ＝Ｒθ’、πｒ＝Ｒθ、Ｒ’cosθ’＝Rcosθ、cosβ＝ｒ/Rを
すべて使ってます。
ここでΦ＝0のときのｚ/ｘにあらわれる
（1-cosθ)/(1＋cosθ)とΦ＝π/2のときのｚ/ｘにあらわれる
(1－cosθ/cos(θ/2))の差をとると最終的に
cosθ(1-cos(θ/2))/cos²(θ/2)　になってこれは
最初の条件0＜2θ＜π、0＜θ＜π/2から、この差は0にならない、
以上によってNo.15の結論になります。

No.16 回答者： syotao 回答日時： 2022/04/26 17:25

ｘｙｚ直交座標系をひとつ用意して復元した円錐を底面がｘｙ平面上にあるように、かつ底面の円周の中心Ｏ’がｘ軸上にあるように、なおかつ

この円周がｙｚ平面と接触するように置きます。つまり底面の円周は
ｘｙ平面上にあって中心がｘ軸上にあり原点を通る円周というわけです。
つぎに、この円錐の頂点Ｏから底面が接触している座標系の原点に向けた
線分にそってはさみをいれ、両方向に押し広げて再びこの円錐の
展開図とします。このとき底面の円周が原点でないほうでｘ軸と交わっている点を切り離さないように押し広げて展開図の扇形の頂点Ｏ（これはもちろんもとの円錐の頂点です）をｘ軸上に置きます。
するとこの展開図は扇形の円弧ＡＢの中点に底面の円弧が接しているような
円錐の展開図を底面の円周が原点をとおるように、かつ扇形の頂点が
ｘ軸上にあるようにｘｙ平面上に置いたものになります。

さてこのように設置した円錐とその展開図において、
円錐の頂点Ｏと底面の円周の中心Ｏ’を結んだ直線（これはｚ軸に平行）
を含んだ平面でｘ軸の正の方向に対して角Φをなす平面が円錐面上の
弦ＡＢを切る点をＰ、この平面と底面の円周との交点をＱとします。
すると展開図面上でＰ、Ｑに対応する点をＰ’、Ｑ’としたとき
Ｑ’は扇形の円弧上の点で、Ｐ’は扇形の頂点Ｏ（ｘ軸上の点）から
Ｑ’を結ぶ線分と展開図上の弦ＡＢ（線分ＡＢ）との交点という関係に
なります。
展開図で底面の円周と扇形の円弧が接触している点（ｘ軸上の点）をＳ
底面の円周の半径をｒ、扇形の円弧の半径をＲ、展開図の扇形上の
半径ＯＱ’がｘ軸の負の方向に対してなす角をθ’、
そもそも扇形の円弧の中心角(表題の∠ＡＯＢ)を2θとすれば
底面の円周上の円弧ＳＱと扇形上の円弧ＳＱ’は長さ同じだから
ｒΦ＝Ｒθ’、また底面の円周の長さは扇形の円弧ＡＢの長さと同じだから
2πｒ＝Ｒ2θすなわちπｒ＝Ｒθとなります。
また扇形上の線分ＯＰ’の長さをＲ’とすれば扇形の弦ＡＢはｘ軸と
垂直だからＲ’cosθ’＝Rcosθとなります。
以上を準備してつぎに円錐面上の弦AB上の点Pの位置座標を
決めます。

No.15 回答者： syotao 回答日時： 2022/04/25 17:36

結論を言うとやはり同一平面上にない、ということです。

も少し言うと、
復元したコーンを立てて見てコーン上の弦ＡＢがなす曲線の
コーンの底面に対して一番高い点と一番低い点（これは底面の円周上の点）
①②とコーンの頂点を結ぶ平面（これは対称性から底面の中心をとおる）
この平面と垂直でコーンの頂点をとおる平面がコーン上の弦ＡＢを切る点
③④、これら①②③④は同一平面上にないのです。
これを三角関数を使ってゴリゴリ計算してだしてみました。
詳細はのちほど...。、

No.14 回答者： lhhb 回答日時： 2022/04/22 18:26

うむ

No.13 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/22 15:33

No.12の最後の行の補足だけします。

2個△で、2組の辺の長さが等しい場合、2辺を挟む角が小さい方が、頂角から底辺の中点に引いた中線の方が長い。
図の上で、右の方が長い。

証明：図の下
各△の合同△を作り、上下に重ねると並行四辺形。
図の赤と青の△では、対応する2辺が等しく挟む角が大きい方が対辺が長い。
(頂角が小さい方が、残りの2角の和が大きい）

前に補題として回答してるので、見て下さい。

No.12の最後の図で、∠Oが小さくなるから、赤が直線であれば青線が元の長さより長くないとイケナイが、逆に短くなってる。
∴赤は直線にはなり得ない。

3点（A,Pと青と赤の接点）を含む平面は1個で、青と赤の接点の方が手前に来るから、その平面は向こう側下へ続く。

逆側もあるから、逆側の3点を含む平面は手前下側へ続く。

手前3点と向こう側3点の合計4点は、同じ平面には乗りません。

No.12 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/22 14:04

これが最後とします。

式がドサッサリになってしまうので、高校生でも理解出来るように、図形だけで示します。

添付上部は、黒線を右の縦面に正射影した図です。
正射影の基本定理により、射影された点線は元の黒線より短い。
(cosを使えば簡単なので、証明略）

正円錐の展開図の2等辺3角形部分だけ書くと、中段の左。

OPを軸としてA,Ｂが重なるようにピッタリ折った図が中段の右。
少し左に傾けて、点線を加えると円錐の元になります。
⇒　この時、赤線は直線です。

OAを接着して円錐形に膨らませると、少し細長くなって青線の下部がより手前に来ます。

それを向こう面に正射影した図が下段の図です。

正射影の基本定理により正射影した青線は中断右より短くなります。

また、この図のOAは母線、OPは母線の一部であって、向こう面と平行である為、射影しても長さは変わりません。

青線は、赤線に接している事に変わりはないので、赤線は直線には成りません。

No.11 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/22 11:41

円だと主張するのは論外ですが・・・。

取りあえず写真を。
ついでに、四角錐も。

円錐を真横から向こう側の壁に正射影した図で、（図の上右端）
∠Pが180°になら無いので、同一平面上には無いですね。
OA=母線(半径r)、OP=rcosφ、oc=展開図の2等辺3角形の中線

AP、PCの長さと、ACの長さを計算。（余弦定理）
AC<AP＋PCとなり、Pを頂点とする△になるので、∠Pが180°になら無い。

ってな具合です。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
模型まで…。

お礼日時：2022/05/03 18:08

No.10 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/21 23:07

No.9続き

意外な計算結果でした。
合ってるかなぁ？

で、実際に展開図から円錐を組み立てて見たところ、やはりNo.9で書いた通りになりました。

今日は遅いから、明日にでも写真をアップします。

No.9 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/21 20:05

>>一つ上の方の回答(補足：No.7様です）、どう思われます？

正しいですね。
少し、図を座標変換とかして考えて見ました。
円錐側面の最短直線（展開図のAB)は、円錐にすると、Aの所で水引が交差する形になるんですね（意外・・・トホホ）。

また、楕円にも成らず、平面上には来ないでタワムんですね・・・。

勉強になりました（あー、疲れたー）。

もの凄～く長くなるし、走り書きのメモでも有るので、書くのは止めます。