三角形の周りを転がる円 中学校受験問題です。

どうしても納得が行かない点があり困っています。
どなたか教えて下さいませんか。よろしくお願いします。

(問題)
1辺が10cmの正三角形があります。このまわりにそって半径1cmの円を1周させます。円周率を3.14として次の問いに答えなさい。
（1） 円の中心が動いたあとにできる線の長さを求めなさい。

(回答)
（1） 円の中心が動いた後にできる線の長さのうち、まっすぐな線と曲線に分けて考えると、まっすぐな線の合計は、正三角形の長さと等しく、曲線は、半径1cmの円周に等しくなる。
10×3＋1×2×3.14＝36.28（cm）

となるようでですが、分からないのは「曲線は、半径1cmの円周に等しくなる」という点です。円の中心が描く線なのに、どうして外周の円周を求めるのでしょうか。円の中心が描く線なので、直径1cmの円周なのではないでしょうか?

何かの思い込みなのでしょうが、私の誤解している点を教えて下さい。
何卒よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： KEIS050162 回答日時： 2013/08/21 11:04

半径１ｃｍの円が通った軌跡に変に執着し過ぎている様ですね直径２センチの中心は真ん中なので直径１センチという変な方向に考えがかたまってしまっている様です。

円の中心は円の外周のどの部分からも、その半径分の距離を保っているので、その中心の軌道は、三角形の辺、頂点から常に１ｃｍ離れたところ、になります。

曲線部分の軌道は、三角形の頂点から常に１ｃｍはなれたところをくるっと回ることになるので、即ち半径１ｃｍの円（実際は扇形）の円周になる、ということです。

三角形の周りを回っている円の外周を求めている訳ではなく、頂点から半径１ｃｍの軌道を計算すると、これは円の外周を計算することと、たまたま（たまたまではないのですが）同じになる、ということですね。

頂点付近の図を正確に描いてみるとこれが良く分かるはずです。

三つの扇形を合わせると、円になる、というのは、それぞれの扇形の中心角を計算して足し合わせてみるとそれが３６０度になるからです。

この回答へのお礼

ご丁寧に説明下さって有難うございました。 迷路から抜け出して青空を見たような気分です。
私の感違いに気付きました。確かに半径1cmの円周ですね。
助かりました。

お礼日時：2013/08/21 19:51

No.7 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/08/21 11:07

図を書きゃ説明は要らないと思うけど・・

この回答へのお礼

折角教えて下さったのに図を見ることができませんでしたが、ご親切に感謝いたします。有難うございました。

お礼日時：2013/08/21 19:38

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/08/21 10:06

>円の中心が描く線なのに、どうして外周の円周を求めるのでしょうか

三角形の頂点を円が回ってゆくときは、
円の中心と三角形の頂点との距離が1cm
に保たれたまま円が動くことになるからです。
すなわち、円の中心の軌跡は頂点を中心にした
扇形になり、その半径は1cmになります。

この回答へのお礼

ご回答有難うございました。
他の方のご説明と併せてよくよく考えて、感違いに気付きました。
思い込みって恐いですね。
ご親切に感謝いたします。

お礼日時：2013/08/21 19:54

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/21 09:31

それは、単に

円周 = 直径×円周率 = ２×半径×円周率
を間違えているんじゃないの？
図の状況は、何だか理解しているみたいだし。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
誤解に気付きました。有難うございました。

お礼日時：2013/08/21 19:59

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/21 01:41

「0.5x2x3.14」の「0.5」は何を意味している数値ですか?

実際に図にしてみたんだとしたら, 「どことどこが 1 cm 離れているのか」を図の中に書き加えてみてはどうでしょうか.

この回答への補足

お返事有難うございます。

図にもしてみましたが、私の感違いがどこにあるのかわからないんです。
0.5とは、半径1cmの1/2です。円の中心が描く線なので、半径0.5cmの円周が三角形の頂点を回転した際にできる距離だと思うのですが…私は一体どこを感違いしているのでしょうかぁ。

補足日時：2013/08/21 01:56

No.2 回答者： kuni-chan 回答日時： 2013/08/21 00:29

　頭で考えてもわからない時は図に書いてみると理解しやすいと思います。

　三角形の頂点で円はどのように動き、中心はどう動くか書いてみてください。
　それでも理解できなければ、実物大に紙を切って動かしてみるとわかるでしょう。

この回答への補足

早々の回答を下さって有難うございます。
再度の質問で恐縮ですが、やってみた上での質問なんです…。

三角形の頂点で回転した内角の和が360度なのも分かります。
私の疑問は、円の中心が移動した距離を求める場合、半径1cmの円周では中心より1cm外側の距離になるとしか思えないんです。
要するに、三角形より1cm離れた軌跡の距離を求めろという問題と解釈しているので、その場合、1x2x3.14 では無く、0.5x2x3.14の軌跡を計算するのではないでしょうか?
出来ましたら教えて下さい。
よろしくお願いします。

補足日時：2013/08/21 01:09

No.1 回答者： Cupper-2 回答日時： 2013/08/21 00:24

＞半径1cmの円を1周させます。

＞【円の中心】が動いたあとにできる線の長さを求めなさい。
ですよ？

この回答への補足

何かを感違いしているのでしょうね。 それに気が付かなくて…。

補足日時：2013/08/21 01:10