円周角の定理の証明では三つのパターンに分けて示す必要があるらしいのですが、一つのパターンでは不十分な

Question

円周角の定理の証明では三つのパターンに分けて示す必要があるらしいのですが、一つのパターンでは不十分なのは何故でしょうか？

三つのパターンは次のものです。
・円周角の内側に中心角がある。
・円周角の外側に中心角がある。
・円周角の線分上に中心角がある。

証明に取り掛かるときに、一つだけでは不十分だから残りの二つの場合も証明するわけですが、具体的にはどこが不十分なのでしょうか？

例えば、「ax=1の xの値を求めよ」という問題があれば
当然、a=0の場合とa≠0の場合で分けますよね。

そして、それは例えばa=0の場合だけで解答したら、0じゃない場合はどうなのかを示せていなくて不十分だからですよね。

それと同じように、不十分だから三つのパターンで場合分けしてると思うのですが、その不十分とは何なのでしょうか？

kmee · Accepted Answer

求められるのは
・全てのパターンで成立すること
です。

場合分けは次のときに行います。
・1つの方法では不具合があるとき
・それが便利なとき

そして、n個に場合分けする場合は次の条件を満すように行います。
・元の問題の全パターン = 場合分け1 または 場合分け2 または ... または 場合分けn
・各場合分けには重複が無い

元の問題の全パターンについて証明するには、全ての場合分けについて証明する必要があります。
「場合分け1」での証明は、「場合分け1」だからできたのであって、同じことが「場合分け2」で言えるかどうか不明だからです。

「円周角は中心角の半分」という証明に
「円周角の頂点と円の中点を通る補助線を引いて、二等辺三角形を作り、二等辺三角形の底角の性質と、三角形の外角と内閣の関係を使って証明する」
という方針を考えたときに、
・補助線が中心角を含む扇型を分割するような線になる
・補助線が扇型の外に引かれる
・補助線が扇型の直線と重なる(補助線にならない)
の3通りになります。
それぞれで図形が違うので、同じ方法では証明できない(かもしれない)。
1つのパターンについて証明できても不十分(他のパターンについて証明できていない)ということです。

逆に「1つのパターンについて証明できれば、他のパターンについても証明できたことになる」ことが示せれば、その「1つのパターンを証明」することで十分だと言えます。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13510448.html
の#5は、
「(中心角を使わない方法で)同じ弧に対する円周角は等しい」ことを証明しておいて、
「ある1つのパターンで円周角は中心角の半分」
を証明することで
「全てのパターンで円周角は中心角の半分」
の証明しています。

> 例えば、「ax=1の xの値を求めよ」という問題があれば

これには暗黙で「a,xは実数」という条件があり、
x = 1/a という答えは a=0のとき成立しない、
ということがあるので、a=0とa≠0に場合分けしてそれぞれで答えを出す、ということをします。
どちらか一方では全てのパターンを満さないので不十分です。

一方で、「aは正の整数」という条件があれば「a≠0の場合」しかありません。
「a≠0の場合」の答えだけで全てのパターンを満すので十分です。

ミラ-_- · Answer

円周角の定理は、円周上の一点から異なる二点へ線を引くことでできる、円周角と中心角について成り立つ法則です。 円の中で円周角が等しいとき，その弧の長さも等しく、反対に，円の中で弧の長さが等しいとき，それに対する円周角も等しいのが円周角の定理です。

円周角の定理を証明するには、円周角の内側に中心角がある場合、円周角の外側に中心角がある場合、円周角の線分上に中心角がある場合の3つのパターンに分けて証明する必要があります。

一つのパターンだけ証明しても、円周角の定理が成り立つことを示すことはできません。なぜなら、円周角の定理は、円周上の一点から異なる二点へ線を引くことでできる、円周角と中心角について成り立つ法則だからです。つまり、円周角の内側に中心角がある場合、円周角の外側に中心角がある場合、円周角の線分上に中心角がある場合の3つのパターンをすべて証明することで、円周角の定理が成り立つことを示すことができます。

例えば、円周角の内側に中心角がある場合だけ証明しても、円周角の外側に中心角がある場合や、円周角の線分上に中心角がある場合については何も証明していないことになります。そのため、円周角の定理が成り立つことを示すことはできません。

mtrajcp · Answer

円周角の内側に中心角がある場合だけで解答したら
円周角の外側に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから
円周角の線分上に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから

円周角の外側に中心角がある場合だけで解答したら
円周角の内側に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから
円周角の線分上に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから

円周角の線分上に中心角がある場合だけで解答したら
円周角の内側に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから
円周角の外側に中心角がある場合はどうなのかを示せていなくて不十分だから

ssawatake · Answer

また？
同じ論法が使え無いからですよ。
3角形の面積式、自分で考えて見ました？
やってないでしょ？　だから理解出来ないのです。

・円周角の内側に中心角がある。
このパターンの場合、下図で赤△と緑△はどちらも2等辺3角形。
2等辺3角形の低角は等しいから、2個の黄色○は同じ大きさ、で、2個の赤○は同じ大きさ。

△の内角の和は180°で、直線も180°だから、中心角は黄色○2個+赤色○2個の和。
これで、図の通り、中心角は円周角の2倍になってる事が解ります。

以上の論法を図の右側で使えます？？？
使えないでしょ？
同じ作図にはならないから、仕方なく別の論法を使うんです。

Zincer · Answer

No.2です。もう少し詳しく説明すると肝となる式
∠AOB=∠AOD+∠BOD
としていますが、（始点から終点が円周上の右側にある）左回りを正とすると、この式は
∠AOB=∠AOD+∠DOB
としなくてはいけないということです。
また、
∠BOD＝ー∠DOB
ともなります。
このように、角度の回転方向によって符号を定義して考えれば、どのパターンも同じ式で表現できそうです。
他に、点Dは円周上に移動し、辺ABとの交点はD’とでも変換。
また、２．三角形ABCの辺上にOがある場合では
∠ACO＝０（または∠BCO＝０）とし、∠OCB＝∠ACBですので同じになるはずです。

Zincer · Answer

角度というものが大きさしか示していないことが最大の原因でしょう。
試しに一方に回る角度を正として定義してみると全く同じ経過で証明されていることがわかるはずです。
例えば、参考URLの
１．三角形ABCの内側にOがあるとき
と
３．三角形ABCの外側にOがあるとき
では、∠AODの符号が逆になるように角度を取り扱えば同じになりそうです。

円周角の定理とその逆の証明
https://manabitimes.jp/math/2049

tsuyoshi2004 · Answer

円周角の証明で３つのパターンが必要というよりも、
もっとも証明が簡単な「円周角の線分上に中心角がある。」＝「一方の弦が中心を通る」を最初に証明して、
それを利用して、「円周角の内側に中心角がある。」＝「二本の弦の中に中心がある」、「円周角の外側に中心角がある。」「二本の弦の外側に中心がある」と証明するという手順のはずです。

円周角の定理の証明では三つのパターンに分けて示す必要があるらしいのですが、一つのパターンでは不十分な

求められるのは

円周角の定理は、円周上の一点から異なる二点へ線を引くことでできる、円周角と中心角について成り立つ法則です。

円周角の内側に中心角がある場合だけで解答したら

また？

No.2です。

角度というものが大きさしか示していないことが最大の原因でしょう。

円周角の証明で３つのパターンが必要というよりも、

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