円運動の質問

円運動で疑問があります。

1 等速円運動の場合
角速度ωが一定
速度　接線方向
速さ(速度の絶対値、スカラー量)rω
rは円半径
角加速度rω^2の大きさで、円の中心に向かう向き

2 一般の場合
速度が接線方向であることに変わらないが、加速度については、円の中心方向に加えて接線方向にも生じる。
これは円運動させながら、速さを変えるために、力を中心方向と接線方向の両方に加える必要があることを意味する。
中心方向の力が速度(これはベクトル量。大きさと向きを持つ)の向きを変えて、接線方向の力が、速度の大きさ(つまり、速さ)を変える事が分かる。
1の等速円運動の場合、中心方向の加速度しか持たないので、中心方向の力しか受けていない事が分かる。
これは接線方向の力が作用しないので、速度の大きさ(速さ)は変えないで、向きのみを変えていると考えれる。
(速さは変わらないが、向きが変わるので、速度としては変化している。)

このような理解でよいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• おっしゃる通り、半径が一定に拘束を受けた場合をどちらも想定していました。
  
  ところで気になったのですが、半径が一定に拘束されるケースは、
  
  ① 糸がピンと張ってその先端の質点が回転してるケース
  ②剛体（念のため軽いとしときます。不要な仮定かもしれません。）の先端に質点をくくり付けているケース
  の二つが考えられます。
  
  両者の違いは何なのかな？とふと疑問に思いました。
  ①の場合、糸は中心方向にしか張力を発揮出来ないので、接線方向には力を加えることは出来ないから、等速円運動しか作れない
  
  ②の場合、中心方向、接線方向両方に質点に力を加えることが出来るので、仰られる1.5のタイプに対応できるのかな？と思いました。
  
  もう一つ、剛体は変形しないので半径をrに固定できる。言い換えると、中心方向の力と接線方向の力を任意に出すことができる。
  
  続き

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/03 07:53

• 

  一方、糸は一般にはたるむことができる。
  しかし、円運動を行ってる場合、実際は点に中心方向にmv^2/rの大きさの力を作用させている(張力)。これは速さvが0でない限り0にはならないので、円運動を続けてる限りvは0ではないので張力も0にはならない。よって、円運動の間に糸がたるむことは考えなくてよいと思われる。
  
  このようなことを考察しました。
  結局、両者ともに円運動がつつく限り、質点の接線方向に力を作用させることが出来るか否か。つまり、1のタイプ1.5のタイプの違いがあるということなのかな？
  
  変なことを書いてるかも知れません。どうなんでしょうか？

    補足日時：2022/05/03 08:02

• お返事ありがとうございます。勉強になります。
  整理させていただきますと、
  ①糸
  引っ張りは出せるけど、たるむ方向の力は出せない。
  円運動において、糸そのものは中心方向にしか力を出せないが、プロペラやロケット推力、重力などを併用すれば接線方向に力を作用できるので1.5のような円運動も可能である。
  
  ②剛体の場合、引っ張りも圧縮も可能である
  
  少し曖昧なので確認させてもらいたいのですが、剛体(棒)の場合、糸と異なりプロペラや重力などに頼らず接線方向にも力を加えることが出来ると考えらるのでしょうか？
  引っ張りも圧縮も対応できるというのは、一つの大きな違いと納得できます。接線方向に力を作用できると考えるのか？についても知りたくなりました。
  
  続き

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/03 11:28

• 

  もう一点、糸がたるむの話ですが、水平面の重力が関係ない状況を考えてました。(もちろんプロペラなどもなく、糸単体で質点を回転させた状況です。)
  この状況においては、中心方向の力がmv^2/rとなり、これが糸の張力なので速さvが０でない限り糸がたるむことがなく、円運動が継続する条件になると思います。
  このような言い方なら、語弊はないでしょうか？
  
  鉛直面にすると、重力がでてくるので、これが接線方向にも力の成分を持つので1.5のタイプになるかと思います。
  糸がたるむ条件は、ちょっと私では難しいですけど、確かにある程度高速で、つまり大きな速さvで回さないと、おそらく重力との兼ね合いで決まるのでしょうが、どこかに糸がたるむ限界の値がありそうですね。水平面の場合のように0でなければ良いという訳では無さそうですね。
  
  長文になりました。お手数でなければご意見嬉しいです。
  
  お返事ありがとうございます。

    補足日時：2022/05/03 11:48

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/03 15:21

No.3 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞もう一点、糸がたるむの話ですが、水平面の重力が関係ない状況を考えてました。(もちろんプロペラなどもなく、糸単体で質点を回転させた状況です。)
この状況においては、中心方向の力がmv^2/rとなり、これが糸の張力なので速さvが０でない限り糸がたるむことがなく、円運動が継続する条件になると思います。
このような言い方なら、語弊はないでしょうか？

はい、そういうことです。

＞糸がたるむ条件は、ちょっと私では難しいですけど、確かにある程度高速で、つまり大きな速さvで回さないと、おそらく重力との兼ね合いで決まるのでしょうが、どこかに糸がたるむ限界の値がありそうですね。

糸がピンと張っているときの張力は、「遠心力と働く力の合力（の半径方向の成分）」とつり合っています。
なので、「糸がたるまない条件」は、「遠心力 + 重力（の半径方向の成分）」が「プラス」であればよいです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/03 10:19

No.1&2 です。

「糸」と「剛体」の違いは、「引っ張り力」については同じような働きをしますが、「圧縮力、距離を縮めようとする力」が働いたときのどうなるかの違いです。

接線方向に力を働かせるなら、糸に付けたものでも「プロペラ」や「ロケットエンジン」などの推進力を付けるなり、円運動を「鉛直平面」にして「おもりに重力を加える」ことでも実現できます。

なので

＞①の場合、糸は中心方向にしか張力を発揮出来ないので、接線方向には力を加えることは出来ないから、等速円運動しか作れない

とは言えません。
体操競技の「鉄棒」では、腕はある意味で「糸」に近いですが、回転のうち「落下」しているときには下方向の力（重力）で加速し、「上昇」しているときには重力で減速しています。

糸以外にも、「垂直に回転するジェットコースター」は「遠心力」とそれを「垂直抗力」であるレールとによって「円運動」を行います。
鉄棒と同様に、重力によって「落下」しているときには加速し、「上昇」しているときには減速します。

＞よって、円運動の間に糸がたるむことは考えなくてよいと思われる。

逆で、「糸がたるまない範囲であれば円運動する」ということです。
勢いがなければ、ブランコのように途中から戻って来たり（振り子ですね）、円の頂上付近で失速して「落下」することもあり得ます。

鉛直回転のジェットコースターも、頂点付近で失速すれば「落下事故」を起こすことがあり得ます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/02 19:34

No.1 です。

#1 に書いたのは

1 ：等速円運動
　中心に糸で固定したおもりが、一定の速さで運動する。

1.5：半径が一定で、周速度が変化する運動
　中心に糸で固定したおもりが、速さ（周速度）を変えながら運動する。

2. 一般の場合
　中心にゴムやバネで結び付けたおもりが、速さを変えながら運動するよう場合。この場合には「半径」も変化する。

というような感じです。

質問者さんがいろいろ書かれているのは、「1.5」を想定しているように思えます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/02 19:21

＞2 一般の場合

速度が接線方向であることに変わらないが、加速度については、円の中心方向に加えて接線方向にも生じる。

その場合には、運動の半径も変化することになります。

＞これは円運動させながら、速さを変えるために、力を中心方向と接線方向の両方に加える必要があることを意味する。

はい、それは正しいです。

＞中心方向の力が速度(これはベクトル量。大きさと向きを持つ)の向きを変えて、接線方向の力が、速度の大きさ(つまり、速さ)を変える事が分かる。

そのように言えるのは、「半径が一定のまま、周速度だけが変化する」場合です。
「運動の半径も変わる」場合には、そうとは言えません。

＞1の等速円運動の場合、中心方向の加速度しか持たないので、中心方向の力しか受けていない事が分かる。
＞これは接線方向の力が作用しないので、速度の大きさ(速さ)は変えないで、向きのみを変えていると考えれる。
＞(速さは変わらないが、向きが変わるので、速度としては変化している。)

はい、これに関しては正しいと思います。


「１」が等速円運動（半径が一定で、周速度も一定）、「２」が一般の運動だとすれば、もうひとつ「半径が一定で、周速度が変化する運動」というものが存在します。
質問者さんは、「半径が一定で、周速度が変化する運動」のことを「２」で考えているのではありませんか？