円周角の定理の「円周角の大きさはその弧に対する中心角の半分である」ということの証明には3つのパターン

円周角の定理の「円周角の大きさはその弧に対する中心角の半分である」ということの証明には3つのパターンでの検討が必要だと判断できるのはどうしてでしょうか？

これは別に「円周角の定理の証明」に限った話ではないのですが、
例えばこの証明に初見で取り掛かる際に、「あっ、これは3パターン示さなきゃ」と思える人はどのように考えているのかといったことが知りたいです。

証明の内容自体も見て理解できるのですが、
証明問題に不慣れなせいか「三つの場合について考えなきゃいけないよな…」という発想になれません。

証明問題というのは基本的にはゴールは示されていますよね。
どの円周上の点を取ろうとも、同じ弧に対してならば常に成り立つということも命題として示されています。
その状況で、「いや、これ外側に円周角があるパターンについても検討しないと不十分だな…」と思えるのはどのように考えているからなのでしょうか？

数学の証明が苦手なので、易しい言葉で説明していただけると助かります。
よろしくお願いいたします！

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/24 20:42

「3パターン」なんて必要ないじゃん。

先に円周角の定理を示してしまえば、円周角は円周上を移動できます。
これを使って、円周角の辺の一方が中心角の辺の一方と重なるように
移動してしまいましょう。下図の真ん中の図のようにです。
すると、中心角がとある二等辺三角形の頂角の外角となって、
円周角がその底辺となります。よって、
中心角 = 180° - 頂角 = 底角×2 = 円周角×2 となって、目的が果たせます。

円周角の定理は、方冪の定理から三角形の相似を使って示せますし、
方冪の定理は、計算で示せばよいです。
複素数平面上の単位円周上に、４つの異なる点 α,β,γ,δをとり、
直線 αγ と直線 βδ の交点を χ と置きます。
χ = ｔα + (1-t)γ = uβ + (1-u)δ (t,uは実数) と表せるので、　←[1]
共役複素数をとれば、t,u は実数なので
ｔ Conj.α + (1-t) Conj.γ = u Conj.β + (1-u) Conj.δ となります。　←[2]
複素数 ｚ の共役複素数は、紙面では普通
(z の上に横線を引いて表記しますが、ＰＣの文字列では難しいので、
　ここでは便宜上、z の共役を Conj.z と表記しました。)
[1][2]を t,u の連立一次方程式としてとけば、t,u が α,β,γ,δ の式で書けます。
それを [1] へ代入した χ を、
Δ = ｜α - χ｜² ｜γ - χ｜² - ｜β - χ｜² ｜δ - χ｜² の右辺へ代入して整理すれば、
結局 α,β,γ,δ によらず Δ = 0 になることが計算でしめせます。
そこから ｜α - χ｜² ｜γ - χ｜² = ｜β - χ｜² ｜δ - χ｜² を経て
｜α - χ｜ ｜γ - χ｜ = ｜β - χ｜ ｜δ - χ｜. これが、方冪の定理です。

以上の証明の過程に、 「3パターン」に場合分けして示す部分はありません。

この回答へのお礼

私のためになると思って回答してくださってるんですかね？ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/06/28 08:35

No.4 回答者： funoe 回答日時： 2023/06/24 19:04

その証明って、

まずは、普通に６０度とか１００度くらいの中心角で、円周角も扇型を完全に含む形をイメージして、証明しますよね。

で、その証明だと、扇型を完全には含まない横切るようなケースだと証明できていなことに気づくでしょうからそういったケースについても証明しなきゃいけないって気づくんですよね。

さらに、中心角が鈍角のときには、これまでの２種類の証明ではうまく証明できていないことに気づいてさらにその場合の証明をする。

いきなり「３つの場合分けが必要」ってわかるんじゃなくて、
まずは単純で自然なパターンを考えて証明して、
それで含まれないパターンがあるか考えて、残りも証明する。
ってことだな。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/24 17:53

例えば3角形の面積を求める式を証明する場合。

頂点が底辺の範囲内に納まる場合の論法は、頂点が底辺の範囲外に出る場合には使えません。

また、底辺の端から垂線を立てた位置にある場合にも使えません。

つまり、同じ論法が使え無い事がわかるから、パターン分けしてるだけです。

No.2 回答者： tsumina 回答日時： 2023/06/24 17:17

>これは別に「円周角の定理の証明」に限った話ではないのですが、

例えばこの証明に初見で取り掛かる際に、「あっ、これは3パターン示さなきゃ」と思える人はどのように考えているのかといったことが知りたいです。

そんな人はいません。
証明をパターン分けするのは、

・　１つで考えるよりもパターン分けした方が、考えやすく
・　パターン分けが、すべての状況を網羅してはじめて
・　証明に必要なパターンの数がわかる。

つまり、試行錯誤の結果であって、最初にそれが判明しているわけではないのです。もちろん、類似問題が既知で、それが瞬時に思い浮かぶときが、ないとは言えませんが、大抵の場合は、考えた末に、パターン分けの数が、結果としてわかる。最初から、・・・パターンで分けて、などという発想が出てくるものではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
証明問題に取り掛かっているときに、少しずつ方針が見えてくるということですね。

つまり「これで十分」「これでは不十分」と判断できるようになるにはある程度慣れのようなものも必要だったりするのでしょうか？

また、具体的に、例えばこの円周角の定理の証明で言うとどんな風に解き進めていって、どんな風に「パターン分けが必要だな」と判断するのだと思われますか？

お礼日時：2023/06/24 17:34

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/24 17:12

3パターンある事が解るから、「1パターンだけじゃ全てを網羅していない」って解ります。

サイコロ1個を振って、出る目は6パターン有るって解る。
それと同じです。

パターン分けトレニングは高校の数1です。

この回答へのお礼

はいどうも。

お礼日時：2023/06/24 17:29