No.3ベストアンサー
- 回答日時:
P(n)=[(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)]
とする
n=-1の時
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=(d/dz)^(-1+1){1/(z+1)}
=(d/dz)^(0){1/(z+1)}
=1/(z+1)
(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1+1)!(-1)^(-1+1)/(z+1)^(-1+2)
=(0)!(-1)^(0)/(z+1)^(1)
=1/(z+1)
だから
n=-1の時
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
が成り立つから
P(-1)は真
ある整数n≧-1に対してP(n)が真と仮定すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)(z+1)^(-n-2)
↓両辺をzで微分すると
(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)(-n-2)(z+1)^(-n-3)
(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)(-1)(n+2)/(z+1)^(n+3)
(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(n+2)(n+1)!(-1)^(n+1)(-1)/(z+1)^(n+3)
(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(n+2)!(-1)^(n+2)/(z+1)^(n+3)
だから
P(n+1)=[(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(n+2)!(-1)^(n+2)/(z+1)^(n+3)]
は真だから
すべての整数n≧-1に対してP(n)が真だから
すべての整数n≧-1に対して
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
が成り立つ
No.2
- 回答日時:
とりあえず、式から贅肉を削ると、
∫_{C}{ g(z) }dz = (2πi) Res(g(z),π/2),
g(z) = tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
ってことですよね。要するに、この式は
閉路 C が囲む領域に z = π/2 は含まれ、
z = (π/2)(2k-1), { k は 1 以外の整数} は含まれない
ということを表しています。
なぜそうなるかって? 教科書で「留数定理」を調べましょう。
(2πi) がどこから出てきた... という発問に意味は無い
と思います。 どこからか出てくるようなもんじゃないから。
No.1
- 回答日時:
0<|z-π/2|<π
0<r<π
C={z;|z-π/2|=r}
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{m=-∞~∞}a(m)(z-π/2)^m
tan(z)=a(n)(z-π/2)^n+Σ_{m≠n}a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に 1/(z-π/2)^(n+1)=(z-π/2)^(-n-1) をかけると
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=a(n)/(z-π/2)+Σ_{m≠n}a(m)(z-π/2)^(m-n-1)
↓両辺をCで積分すると
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=a(n)∫_{C}{1/(z-π/2)}dz+Σ_{m≠n}a(m)∫_{C}(z-π/2)^(m-n-1)dz
↓ m≠nの時∫_{C}(z-π/2)^(m-n-1)dz=0 だから
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=a(n)∫_{C}{1/(z-π/2)}dz
z-π/2=re^(it)
0≦t≦2π
dz=ire^(it)dt
だから
∫_{C}{1/(z-π/2)}dz
=∫_{|z-π/2|=r}{1/(z-π/2)}dz
=∫_{0~2π}(i)dt
=2πi
だから
∫_{C}{1/(z-π/2)}dz=2πi
だから
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=(2πi)a(n)
↓両辺を2πiで割ると
1/(2πi)∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=a(n)
ありがとうございます。
頂い解答の
1/(2πi)∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=a(n)
の両辺を2πiを掛けた
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=(2πi)a(n)を
「{1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)」
の
{1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzに代入して
1/(2πi)}(2πi)a(n)となり
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
と導けるとわかりました。
後は、
a(n)の公式の
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}より、f(z)にres(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)のtan(z)/(z-π/2)^(n+1)が入り、
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となるわけですね!
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