動き続けたときの双子のパラドックス。

ウィキペディアの「双子のパラドックス」の説明の一部で次のように書いてあります。

(抜粋)
アインシュタインは26歳のときに出した、特殊相対性理論の論文「動いている物体の電気力学」において、「同じ時刻を刻む2つの時計がA点に置かれているとき、そのうちのひとつを、A点を通る任意の閉曲線にそって一定の速さvで動かし、t秒後に再びA点に戻ったとき、この時計は動かさなかった時計より(v/c)^2/2秒だけ遅れている。」と書いている。
(抜粋おわり)

私は素人なので分かりませんが、これは、正しいですか。
曲線を等速で、どこかへ行って戻ってくるだけで、距離によらず、かかった時間によらず、一律に(v/c)^2/2だけ遅れるというのが不思議です。

この説明によると、弟と兄のあらゆるときの時刻の関係は不明ですが、はじめて再会するときの時刻を弟がt1で兄がτ1とすると、そのときは、
τ1=t1-(v/c)^2/2
になるという意味でしょうか。

もっと拡張して、兄が何周もするとして、兄弟が同じ位置にいないときも含めた、あらゆるときのτとtの関係が知りたいです。

と言っても、閉曲線の形によるのだろうと思います。
ならば、閉曲線が円の場合だったら、どうなるのでしょうか。

兄弟がスレ違ったときをどちらの時刻も0として、そこを起点にして、兄が何周もする場合が知りたいです。例えば円の半径がｒとして教えてください。
答えそのものが見たいです。答えだけでも教えてください。
よろしくお願いします。
m(_ _)m

(解き方も解説していただけると嬉しいです。でも、理解できるかどうかは分かりません)

質問者からの補足コメント

• 訂正。
  ウィキにはt(v/c)^2/2と書いてありますがコピペで文字化けして、私が書き直すときにうっかりtを抜かしてしまいました。
  
  前半部分は無視して、後半の円運動について教えてください。

    補足日時：2023/02/03 08:55

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/02 19:36

論文そう書いてあるか不明ですが。

運動する物体の「時間」(固有時と呼ばれている)τは、慣性系の
時間tとは次の関係がある。
　dτ=√(1-v²/c²) dt

これは、あまり明確に断言されていない特殊相対論の原理の1つ
です。そして、これはどのような(加速)運動をしようと成立が仮
定されています(つまり、どのような軌跡でもかまわない)。

したがって、vが一定なら簡単に積分出来て
　τ=√(1-v²/c²) t　(t=0で、τ=0と時刻合わせしている)
となる。

ここで、v≪c なら、近似式　√(1+x)≒1+x/2 (|x|≪1)
　τ=≒{1-(v²/c²)/2}t
となり
　{(v²/c²)/2}t
だけ、遅れます。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/04 05:37

>どうしてそうなるのですか

NO.10の式は基礎方程式なのでなんで成り立つかは不明。
慣性系での運動方程式を記述するには
不可欠な仮定ですし
それを等価原理に適用したのが一般相対論です。
加速度運動に適用出来るから一般相対論が成立しています。

No.12 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/03 22:22

これは#2でも述べたように、特殊相対論の原理・仮定です

(光速度不変のように)。だから特殊相対論では証明できませ
ん。

その根拠となるのはおっしゃる通り、慣性系間の結果である
時間遅れです。これを一般化して、どのような運動であって
も瞬間の速度に対して与式が成り立つことを原理とした(実
際の確認がどのように行われているか、知らないが)。

このことは、物理(学者)の杜撰さのせいでほとんど述べられ
ず、うやむやになっている(はず)。

このような例はあちこちにあります。たとえば、電磁界の
エネルギーは　ε₀E²/2 , B²/2μ₀ とされていますが、これ
らは静電界などの時だけ証明されたものであり、一般の電
磁界については仮定・原理です。

元々、物理は公理的に建設しようとい者が居ないらしく、
言明の前後の関係(何が原理で何が定理か)が不明になりが
ちです。

電磁気は法則が多いので特にひどい(未だにキルヒホッフ
の電圧則のまともな証明を見たことが無い)。

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/03 12:40

>後半の円運動について教えてください。

弟はある慣性系で静止しているとすると

式で示した通りで
v(t)=一定なら
τ=t√(1-(v/c)^2)

ただし、tは弟の固有時間=弟の静止している慣性系の時刻
τは兄の固有時間で
弟の慣性糸の時刻tで兄の固有時刻を
観測した場合。

tとτの関係は観測に使用する慣性系に寄って異なる。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/03 08:00

>τ1=t1-(v/c)^2/2

なんだこれ？
第2項は次元が時間じゃないので意味なさないですよね。
100% 間違ってます。

こういう式の筈ですよ。出典 Wikipedeia 「双子のパラドックス」

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/03 00:14

>相対性理論の論文を書いているのに近似的なことを書くのでしょうか<

●それは論文の主張する趣旨によります。当然、近似的にこれ
これが成り立つなんて言明はありです。べつに、v≒cのとき、
成り立たない、なんて言っていなければ。

今回は v≒c で以下の式は成り立ちませんがね。
　√(1-(v/c)^2)≒(1-(v/c)²/2)

なお、調べた結果、論文でも、高次の項は無視して
　ー 1/2 v^2/c^2
と書いてあるようです。

http://home.catv.ne.jp/dd/pub/tra/einstein.html

４. 得られた方程式の動く剛体と動く時計に関する物理的意味
の中の式
　τ= t √(1- v^2/c^2) = t - (1 - √(1- v^2/c^2)) t
のつぎの行。

なお、今日はこれで寝ますので。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/02 23:40

意味がよくわかりませんが、前に書いたように

　τ=t√(1-(v/c)^2)≒t(1-(v/c)²/2)
だから、ルートが取れる、というようなことですか?

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/02 23:15

wikiのどこに書いてありますか?

式に番号がふって無いようなので、分かるように前後の言葉
を書いてください。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/02 22:30

当質問の答えは

τ=t√(1-(v/c)^2)
ということです。

別のサイトの質問ですが、面倒そうなので調べて、私の知識で
回答できそうなら、そうしたいと思います。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/02 21:37

書いた通り、どのような運動をしようと、慣性系から見て

v(速度ベクトルの大きさ)が同じなら同じです。

vが変わるなら、wikiに書いてある通り積分します。
　τ=∫√(1-v²/c²) dt