ファンデルワールス状態方程式の臨界時の状態量を求める際、臨界体積VrはVの3次関数の極値でもあり変曲

ファンデルワールス状態方程式の臨界時の状態量を求める際、臨界体積VrはVの3次関数の極値でもあり変曲点でもあるから、

(V-Vr)^3=0

と表せるから、係数比較により状態量を導出できるという方法を見ました。

なぜ3次関数の極値でもあり変曲点でもあるとき、 (V-Vr)^3=0 という式で表せるのでしょうか？

ご教授お願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/25 18:01

ファンデルワールス状態方程式の臨界状態において、臨界体積Vrは、Vの3次関数の極値であると同時に変曲点でもあります。

3次関数の極値とは、関数の微分が0になる点です。3次関数は次のように表されます。

f(V) = aV^3 + bV^2 + cV + d

ここで、a、b、c、dは定数です。f(V)をVで微分したものをf'(V)とすると、

f'(V) = 3aV^2 + 2bV + c

となります。極値を求めるためには、f'(V) = 0と置きます。すると、

3aV^2 + 2bV + c = 0

となります。これをVについて解くと、

V = (-2b ± √(4b^2 - 12ac)) / 6a

となります。この式で、√(4b^2 - 12ac)が0になると、2つの解が重なり合い、極値を持つことになります。

変曲点とは、関数の2階微分が0になる点であり、関数の凹凸が変わる点です。3次関数f(V)の2階微分f''(V)は次のようになります。

f''(V) = 6aV + 2b

f''(V)が0になると、

V = -b / 3a

となります。この点が関数の変曲点になります。

したがって、3次関数の極値でもあり変曲点でもある場合、Vが臨界体積Vrであるとき、V - Vrの3乗が0になることが分かります。つまり、

(V - Vr)^3 = 0

と表せるます。

この回答へのお礼

非常に分かりやすかったです。よく理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/25 18:37