ビオサバールの法則で円弧部分から座標(x,0,0)に対する磁束密度を計算したいのですがここで詰まって

ビオサバールの法則で円弧部分から座標(x,0,0)に対する磁束密度を計算したいのですがここで詰まってしまいます。
(外積を計算したら0になってしまう)

ミスの指摘や他の計算方法があれば教えて頂きたいです。
途中までで結構ですので(答えまでの導出は大丈夫です)
よろしければどなたかご教授ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 14:28

半円部の座標を極座標で(r,θ)とすると、軌跡のベクトルsは

　s=a<0,cosθ,sinθ>
微分して
　ds=adθ<0,-sinθ,cosθ>
xの座標は (x.0,0)だから、sからの距離ベクトル rは
　r=<x,0,0>-s=<x, -acosθ, -asinθ>
すると
　ds×r=adθ<asin²θ+acos²θ, xcosθ, xsinθ>
　　　=adθ<a, xcosθ, xsinθ>
　|r|³=(x²+a²)³/²

　H'=(I₀/4π)∫[-π/2→π/2] adθ<a, xcosθ, xsinθ>/(x²+a²)³/²
z成分は奇関数だから、積分は0、また、θについてxは定数なので
　H'=(I₀/4π)a<πa, x[sinθ][π/2,-π/2], 0>/(x²+a²)³/²
　　={(I₀/4π)a/(x²+a²)³/²}<πa, 2x, 0>
　　=<(I₀a²/4)/(x²+a²)³/², (I₀/2π)ax/(x²+a²)³/², 0>

直線部分は同様に
　ds=<0,0,1>dz
　r=<x,0,-z>
　ds×r=<0,x,0>dz
　|r|³=(x²+z²)³/²

下記の積分は、y成分のみで、zに関して偶なので、区間の半分を
2倍して、
　H''=(I₀/4π)2∫[a,∞] <0,x,0>dz/(x²+z²)³/²
・・・・・z=xtanφ、a=xtanφ₁ として

　Hy''=(I₀/4π)2∫[φ₁→π/2] (x/(x³/cos³φ))xdφ/cos²φ
　　　=(I₀/2π)∫[φ₁→π/2] (1/x)cosφdφ
　　　=(I₀/2πx)(1-sinφ₁)=(I₀/2πx)(1-a/√(x²+a²))

H',H'' を足して、まとめると
　Bx=(μI₀a²/4)/(x²+a²)³/²
　By=(μI₀/2π)ax/(x²+a²)³/²+(μI₀/2πx)(1-a/√(x²+a²))
　　=(μI₀/2πx)-(μI₀/2π)a³/{x(x²+a²)³/²}
　Bz=0

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
最後まで導出して頂き感謝しかありません。
途中まででしたら私がわからなくなってました。
答えの確認が出来ました。

一つだけお聞きしたいのですが、
前回の回答でも
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半円部の座標を極座標で(r,θ)とすると、軌跡のベクトルsは
　s=a<0,cosθ,sinθ>
微分して
　ds=adθ<0,-sinθ,cosθ>
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このような手段を取られていたのですが、x,y,z軸に分けて分解したい時はこれが割とよくあるやり方なのでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 22:50