場合の数、確率 45 弘前大学

Question

本題

(1)
表をO,裏をU と表記する

１回目           2回目　　　　　　　　
(O,O,O)　　　終了
(O,O,U)　　　(U),or (O)終了
(O,U,U)         (O,U),or,(O,O)終了
(U,U,U)

この様に考えていくと煩雑になるばかり、、、、

表が出ればその硬貨を除くと言うのが考えにくい

因みに、n=2 も試したが、n=3 の拡張にはならなかった

(2)

(1)　の一般化、(1) からヒントを得ようと思ったが、先に進まない

教えてください

以下問題

_______________________________________

https://imgur.com/a/GwncurD

__________________________

mtrajcp · Accepted Answer

問題
は
「
nを正の整数とする.
n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものをとり去り、
次に硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものをとり去ることにする
(1)n=3のとき全部なくなる確率を求めよ
(2)全部なくなる確率を求めよ
(3)r枚残っている確率を求めよ.ただし,rは正の整数で,1<r<nとする
」
なので
n回の実験ではなく
n枚の実験です

成功するとは(2回の内どちらか1回に表が出ること)

表表…成功
表裏…成功
裏表…成功
裏裏…失敗

表表,表裏,裏表,…3/4,成功
裏裏…1/4,失敗

2枚の硬貨a,bを同時に投げる実験で
硬貨aが,裏裏…1/4,失敗(残る)
硬貨bが,表表,表裏,裏表,…3/4,成功(なくなる)
する確率は
(1/4)×(3/4)

tsuyoshi2004 · Answer

＃１１です。
まずは、補足に対する返答ですが、
”ＵＯも取り残されます。”が書き間違いで、
”ＵＯも取り去られます。”です。
（１回目の試行では残り、２回目の試行で取り去られる）

お礼に対する返答ですが、
特定のコインというのは、ｎ枚のコインが区別できるとして、その各々のコインです。
たとえば、ｎ＝３とした場合に、１円硬貨、１０円硬貨、１００円硬貨の３枚であれば、
１円硬貨は２回ともに裏が出なければ取り去られるし、１０円硬貨も１００円硬貨も同様です。
すべての事象は
１円硬貨がＯ（Ｏ）、Ｏ（Ｕ）、ＵＯ、ＵＵの４通り
１０円硬貨もＯ（Ｏ）、Ｏ（Ｕ）、ＵＯ、ＵＵの４通り
１００円硬貨もＯ（Ｏ）、Ｏ（Ｕ）、ＵＯ、ＵＵの４通り
なので、これらの積で６４通り
一方で、すべて取り去られるのは、３通りの３乗で２７通り
で、２７／６４としても良いですが、そうであれば一般化した（３／４）＾３とするのが好ましいでしょう。

ｍ回の試行を行うのであれば、個々のコインについては、１回の試行毎に１／２の確率で取り去られていくのは当然でしょう。
※残り続けるためにはその硬貨がｍ回連続して裏が出るしかありません。

tsuyoshi2004 · Answer

＃７です。
試行の回数は２回に限定されているわけで、ｎで変化するのは最初のコインの数だけです。

問題文を書き換えるならば、
「（区別のある）ｎ枚のコインを２回振って、２回とも裏になったコインを残す。」ということと同じことです。
１回目で表になったコインを更に２回目に振って表が出ても裏が出ても残らないわけです。
特定のコインの表裏でいえば、
O(O),O(U)は共に取り去られます。
またUOも取り残されます。
UUだけが残ることになります。

また、もしも問題がｎ枚のコインでｍ回の試行であっても、
特定のコインが残る確率は(1/2)^mで計算できます。

mtrajcp · Answer

(3/4)というのは2回の試行で1枚の硬貨がなくなる確率
だから
(3/4)^n
は2回の試行でn枚の硬貨が全部なくなる確率

mtrajcp · Answer

nを正の整数とする
1回目
n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものをとり去り,
2回目
次に硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものをとり去ることにする
と
問題は2回しか試行は許されていない

[硬貨3枚で]
だから
n=3

だから

n=3　と　2回目で終了　は関係ありません

mtrajcp · Answer

n=3のとき
全部なくなる確率は
(3/4)^3=27/64
その内1回でなくなる確率は
表表表(1/8)
だから
2回でなくなる確率は
27/64-1/8=19/64

tsuyoshi2004 · Answer

ひょっとすると、この問題はｎ枚の区別できるコインを２回投げて、２回とも裏が出るか、それ以外（表と裏、表が２回）と考えるほうがわかりやすいのでは？
※２回振って残るコインというのは、２回とも裏が出たコイン

特定の１枚のコインが２回とも裏が出るのは１／４なので、特定のコインを取り去る確率は３／４

したがって、ｎ＝３であれば、求める確率は（３／４）＾３

ｎ枚のコインであれば、（３／４）＾ｎ

ｒ枚残る確率は任意のr枚が裏が２回出れば良いので、
nCr(1/4)^r・(3/4)^(n-r)
で良いのではないでしょうか？

Tacosan · Answer

「活字で表しているのは
mtrajcpさんの回答です」
ってどういうこと? 他人の書いたものを, なんでわざわざ＊あなたが＊＊自分で書いたものであるかのように＊コピーしなきゃならんの?

mtrajcp · Answer

nを正の整数とする
n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものをとり去り,
次に硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものをとり去ることにする
(1)
n=1のとき
表(1/2)
裏(1/2^2)
全部なくなる確率は
(1/2)+(1/2^2)
=1/2+1/4
=3/4

n=2のとき
表表(1/4)
表裏,裏表(2/4)(1/2)=1/4
裏裏(1/4)(1/4)=1/16

全部なくなる確率は
(1/4)+(2/4)(1/2)+(1/4^2)
=1/4+1/4+1/16
=9/16

n=3のとき
表表表(1/8)
表表裏,表裏表,裏表表(3/8)(1/2)=3/16
表裏裏,裏表裏,裏表裏(3/8)(1/4)=3/32
裏裏裏(1/8)(1/8)=1/64

全部なくなる確率は
(1/8)+(3/8)(1/2)+(3/8)(1/4)+(1/8^2)
=(1/8)+(3/16)+(3/32)+(1/64)
=(8+12+6+1)/64
=27/64

(2)
全部なくなる確率は
Σ_{k=0～n}(nCk/2^n)(1/2^k)
=(3/4)^n

(3)
1≦r≦n
r枚残っている確率は
3^{n-r}/4^n

mtrajcp · Answer

nを正の整数とする
n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものをとり去り,
次に硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものをとり去ることにする
(1)
n=1のとき
表(1/2)
裏(1/2^2)
全部なくなる確率は
(1/2)+(1/2^2)
=1/2+1/4
=3/4

n=2のとき
表表(1/4)
表裏,裏表(2/4)(1/2)=1/4
裏裏(1/4)(1/4)=1/16

全部なくなる確率は
(1/4)+(2/4)(1/2)+(1/4^2)
=1/4+1/4+1/16
=9/16

n=3のとき
表表表(1/8)
表表裏,表裏表,裏表表(3/8)(1/2)=3/16
表裏裏,裏表裏,裏表裏(3/8)(1/4)=3/32
裏裏裏(1/8)(1/8)=1/64

全部なくなる確率は
(1/8)+(3/8)(1/2)+(3/8)(1/4)+(1/8^2)
=(1/8)+(3/16)+(3/32)+(1/64)
=(8+12+6+1)/64
=27/64

(2)
全部なくなる確率は
(3/4)^n

(3)
1≦r≦n
r枚残っている確率は
Σ_{k=r～n}(nCk/2^n){1/2^(k-r)}
=
Σ_{k=r～n}(nCk/2^{n+k-r})

場合の数、確率 45 弘前大学

問題

＃１１です。

＃７です。

(3/4)というのは2回の試行で1枚の硬貨がなくなる確率

nを正の整数とする

n=3のとき

ひょっとすると、この問題はｎ枚の区別できるコインを２回投げて、２回とも裏が出るか、それ以外（表と裏、表が２回）と考えるほうがわかりやすいのでは？

「活字で表しているのは

nを正の整数とする

nを正の整数とする

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