∫1/sinxdxの不定積分で
分母・分子にsinxをかけると
∫sinx/sin^2xdx
=∫sinx/(1-cos^2x)dx
cosx=tとすると
dt/dx=-sinx
与式=∫1/(t^2-1)dt
=1/2∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=1/2log{(t-1)/(t+1)}+C
= 1/2log{(cosx-1)/(cosx+1)}+Cとしたんですが、
解答は1/2・log(1-cosx)/(1+cosx) + Cとなっていました。
何で自分はlogの部分が逆なんでしょうか?教えていただき
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
-1 ≦ cos(x) ≦ 1 ですから
cos(x) - 1 ≦ 0
になってしまって、対数の「真数条件」を満足しません。
与式で「sinx」が分母にあることから、
x≠0, π
が前提条件になっており
0 < cos(x) + 1
は成立します。
従って、積分結果が
log|cosx - 1| - log|cosx + 1|
であることから、絶対値を外すと
log|cosx - 1| = log[-(cosx - 1)| = log(1 - cosx)
log|cosx + 1| = log(1 + cosx)
になります。
No.2
- 回答日時:
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