∫（1→3）（u-1)/u / log(u)を変形したらlog(u) / u になるらしいんですがど

∫（1→3）（u-1)/u / log(u)を変形したらlog(u) / u
になるらしいんですがどうやって変形すればいいんですか？

質問者からの補足コメント

• 間違えました
  log(u)-{log(u)}/uになるらしいです

    補足日時：2024/01/18 23:47

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/20 04:59

∫_{1→3}(u-1)/{u/log(u)}du=

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/19 20:11

誤字訂正：

答えは = -2 + 3 log 3 - (1/2)(log 3)^2.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/19 20:10

ああ... そうか。

No.1 の言うとおり
（u - 1)/(u / log u) = (u - 1)・(log u)/u = (1 - 1/u)log u = log u - (log u)/u
の話をしているんだとしたら、
質問の答えは
∫((u-1) / (u/ log u) du
= ∫{ log u - (log u)/u } du
= ∫ log u du - ∫(log u)/u du
= { u log u - ∫ u(1/u) du } - ∫(log u)(log u)’ du
= { u log u - ∫1 du } - (1/2)(log u)^2 + (積分定数)
= u log u - u - (1/2)(log u)^2 + (積分定数)
より
∫[1,3] ((u-1) / (u/ log u) du
= [ - u + u log u - (1/2)(log u)^2 ]_{1,3}
= { - 3 + 3 log 3 - (1/2)(log 3)^2 } - { - 1 + 1 log 1 - (1/2)(log 1)^2 }
= -2 + 3 log 3 - 2 - (1/2)(log 3)^2.

途中計算の
∫ log u du = u log u - ∫ u(1/u) du　は部分積分、
∫(log u)(log u)’ du = (1/2)(log u)^2　は置換積分。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/19 19:56

なんやわからん式やな。

∫[1,3] ((u-1)/u) / log(u) du かなあ...

∫ ((u-1)/u) / (log u) du = ∫{ 1/log u }du - log(log(u)) + (積分定数),
∫ ((u-1) / (u/ log u) du = - u + u log u - (1/2)(log u)^2 + (積分定数).
どちらも、(log u)/u にも log u - (log u)/u にもならんがな。
ちな、∫{ 1/log u }du は Li(u) と書いてもいいけど、初等関数では表せない。　

そもそも ∫[1,3] … du で、答えの式に u が残るはずがない。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/19 00:38

そもそもがどういう式？

(u - 1) / [u/log(u)]

ですか？

だったら

(u - 1) / [u/log(u)]
= [(u - 1)log(u)] / u
= [ulog(u) - log(u)] / u
= log(u) - [log(u)] / u

何の不思議もないですよ？