対数微分法

対数微分法で
(log|y|)'=y'/y
となるのはなぜなのでしょうか？なぜlog|y|をxで微分したらこの形になるのかが理解できません。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/24 17:13

log を微分する話と

合成関数の微分とを
一度に考えようとするからややこしい
だけではないでしょうか。

z = log|y| のとき
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) = (1/y)(y’)
ということですから、
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) と
dz/dy = 1/y を
それぞれ別の話として理解すればよいです。

dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) は流石に解るでしょうから、
ここでは dz/dy = 1/y を説明してみます。

log|y| は y = 0 のとき微分どころか値さえ定義されない
ので、 この式は y > 0 と y < 0 の場合に意味を持つ式です。
(d/dy)log|y| = 1/y は
y > 0 のとき (d/dy)log y = 1/y と
y < 0 のとき (d/dy)log(-y) = 1/y を表しています。

y > 0 のとき (d/dy)log y = 1/y のほうは、
z = log y ⇔ y = e^z であることから
dz/dy = 1/(dy/dz) = 1/((d/dz)e^z) = 1/e^z = 1/y
と計算することができます。

dz/dy = 1/(dy/dz) は、逆関数の微分です。
合成関数の微分を f(z) = z に適用すると
1 = dz/dz = (dz/dy)(dy/dz) から得ることができます。

y < 0 のとき (d/dy)log(-y) = 1/y のほうは、
z = log(-y), u = -y と置いて上記を利用すると
dz/dy = (dz/du)(du/dy) = (1/u)(-1) = (-1/y)(-1) = 1/y
と計算することができます。

この回答へのお礼

かなり詳しくありがとうございました。なんとなくですが理解できました。

お礼日時：2022/04/24 17:31

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/24 17:07

最初の回答を勝手に補足。

そもそもlog|y|をそのままの形でxで微分した式を書き表すなんて無理な話ですよね。でもyで微分する事なら簡単にできます。なので元の関数を

y=f(x)

u(y)=log|y|

と言う合成関数と考えて

du/dx=(du/dy)(dy/dx)

と考えれば、du/dyは微分の公式そのままですから後は簡単に計算できます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。なんとなくわかりました。

お礼日時：2022/04/24 17:32

No.1 回答者： gokibounonikkunemu 回答日時： 2022/04/24 16:37

f(x)=log|y(x)|

df/dy=(1/y)
dy/dx=y'
df/dx=(df/dy)(dy/dx)=(1/y)*y'=y'/y
Q.E.D.

この回答へのお礼

ありがとうございました。なんとなくわかりました。

お礼日時：2022/04/24 17:32