高校数学 数2 log10の2=0.3010、log10の3=0.4771とする (1)2^n >1

高校数学　数2

log10の2=0.3010、log10の3=0.4771とする

(1)2^n >10000となる最小の正の整数nを求めなさい。

(2)(2/3)^n < 1/1000となる最小の正の整数nを求めなさい。

どなたか分かる方いらっしゃいましたらよろしくお願い致します。

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/10 22:39

(1)

2^n>10000
log_{10}2^n>log_{10}10^4
nlog_{10}2>4

n>4/log_{10}2

0.3<log_{10}2<0.302
13<4/0.302<4/log_{10}2<1/0.3<14
∴
n=14

(2)
(2/3)^n<1/1000
log_{10}(2/3)^n<log_{10}10^(-3)
nlog_{10}(2/3)<-3
3<nlog_{10}(3/2)
nlog_{10}(3/2)>3

n>3/log_{10}(3/2)=3/(log_{10}3-log_{10}2)
0.475-0.305<log_{10}3-log_{10}2<0.4772-0.301
0.17<log_{10}(3/2)<0.1762
17<3/0.1762<3/log_{10}(3/2)<3/0.17<18
∴
n=18

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/10 21:55

(1)

2^n >10000 ⇔ n (log_10 の 2) > 4
　　　　　　⇔ n > 4/(log_10 の 2)
0.30095 ≦ (log_10 の 2) < 0.30105 が与えれれているならば、
2^n >10000 ⇒ n > 4/0.30105 > 13.2
最小の n は 14 か。

(2)
(2/3)^n < 1/1000 ⇔ n (log_10 の 2/3) < -3
　　　　　　　　⇔ n > -3/(log_10 の 2/3) = -3/(log_10 の 2 - log_10 の 3)
　　　　　　　　⇔ n > 3/(log_10 の 3 - log_10 の 2)
0.30095 ≦ (log_10 の 2) < 0.30105,
0.47705 ≦ (log_10 の 3) < 0.47715 が与えれれているならば、
(2/3)^n < 1/1000 ⇒ n > 3/(0.47715 - 0.30095) > n > 17.0
最小の n は 17 かな。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/10 18:43

「2^n >10000」の両辺の 対数をとります。

これが出来ないと 先に進めません。
教科書や参考書で やり方を 理解してください。
2^n >10000 → log2^n>log10000 → n log2>4log10 。
log2=0.3010 として計算するのですから、
0.3010n>4 → n>4÷0.3010≒13.29 → n=14 。
(2) も 同じようにやる。
但し log(2/3)=log2-log3 となります。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/10 18:24

1) 両辺の常用対数をとっても不等号の向きはかわらないので

log10の2^n>log10の10000=log10の10へ4
n log10の2>4
n>4/log10の2=4/0.3010=13.2..... ∴nのmin=13+1=14

2) (2/3)^n < 1/1000 同様に両辺の常用対数をとっても不等号の向きは変わらないので
n log10の(2/3)<log10 の(1/1000)=log10の(10^(-3))
n (log10の２ -log10の3)<(-3)
n (0.3010 - 0.4771)< -3
n >3/ ( 0.4771 - 0.3010 )=3/0.1761=17.03.......
∴　n のmin=17+1=18

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/02/10 17:50

> log10の2=0.3010、log10の3=0.4771とする

「とする」ではなく、「である」でしょう。

(1)(2)
単に、n乗すればよいだけですけど。

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/02/10 17:48

1) 2^n > 10000となる最小の正の整数nを求めるために、まずlogの性質を利用します。

logの性質により、2^n = 10000 をlogで表すことができます。
2^n = 10000 log(2^n) = log(10000) n * log(2) = 4
ここで与えられたlog10の2の値を用いると、 n * 0.3010 = 4 n = 4 / 0.3010 n ≈ 13.29
nは整数である必要があるため、n = 14 となります。
したがって、2の14乗は10000を超える最小の正の整数nは14です。
(2) (2/3)^n < 1/1000 となる最小の正の整数nを求めるためにも同様にlogの性質を利用します。
(2/3)^n < 1/1000 log((2/3)^n) < log(1/1000) n * log(2/3) < -3
与えられたlog10の3の値を用いると、 n * 0.4771 < -3 n > -3 / 0.4771 n > -6.29
nは正の整数である必要があるため、n = -6 となります。
したがって、(2/3)^(-6) < 1/1000 を満たす最小の正の整数nは6です