図形問題です。教えて下さい。

Question

前置き
図１のように正方形の各辺の中心点から向かいの辺の中心に線を引いて4分割したとき、分けられた部分の面積は等しくなる
図２のように正方形の中心からそれぞれの角に向かって直線を引いて（要するに対角線）図形を4分割したときも、分けられた部分の面積は等しくなる。

問１　では、図２の線を、中心点から任意の角度に回した（もちろん、交点は垂直に交わったまま）場合も、四分割された部分の面積は等しくなるか？
問２　問１を長方形で行った場合は分割部分の面積は等しくなるか？ならないか？

自力でここまでやってみた。
図１の証明。まず、図１は見ての通り、正方形の各辺の中点から中心に向かって直線を引いているので中心点と中点を結ぶ線の交点は直角になる。よって大きな正方形の中に正方形が4つできた形になるので、小さな正方形は大きな正方形の面積を4分割していると言える。

では図２の証明。正方形の対角線を二本引いている。正方形の対角線が直角に交わることは証明するまでもないので省略する。この対角線と正方形の各辺で囲まれた4つの三角形は合同であることも証明するまでもないので省略する。（一応、証明するならば、各三角形の長い辺を底辺とする。それらは正方形の辺でもあるので、長さは全て一致する。そして底辺から中心点まで垂線を引いたとき、その長さも一致する。よってこれら4つの三角形は同じ長さの底辺、同じ長さの高さをもつ三角形なので、面積は一致する）

では問１を解いてみる。
正方形の中心点を交点として垂直に交わる二本の線で正方形を任意の角度で4分割した場合、4分割した面積は一致するか否か？　であるがまず、図１、図２について上記のように、証明できる。（まあ、一応、証明できたと仮定します）
では、垂直水平の4分割や対角線での4分割ではない場合も、360度、どんなに微妙に回転させても絶対に面積等しく4分割できるか？　となると、おそらくは4分割した図形がいかなる場合も合同であることを証明できれば良いのだと思う。
ではどうやって証明するか？
それがわからない。

この問題、解ける方、お願いします。

あとそれから
図１、図2が面積等しく4分割出来ていることを自分で証明してみましたが、
もし、これを必要とする図形問題が入試等で出てきた場合、これ、いちいち書いて証明しないと「説明の抜け落ち」になりますかね？
それとも「正方形の中心点から各辺の中点に向かって線を引いて4分割した場合、あるいは4つの角に向かって線を引いて4分割した場合は必ず面積等しく4分割される。これはいちいち証明するまでもなく、たとえ省略しても減点されることはない」でしょうか？
これも、算数、数学のテストに詳しい方、教えて下さい。

Andro · Accepted Answer

## 図形問題の解答

**問1：正方形の中心から任意の角度に線を引いた場合も、四分割された部分の面積は等しくなる**

**解答**

図1と図2の証明を参考に、図3のように中心Oから任意の角度θで線を引いた場合について考えてみましょう。

まず、線OCと線ODが垂直に交わることを示します。

* 線OCと線ODはそれぞれ正方形の対角線なので、長さも角度も等しいです。
* 正方形の対角線は互いに垂直に交わるので、線OCと線ODも垂直に交わります。

次に、△AOCと△BODが合同であることを示します。

* 辺OCと辺ODはそれぞれ正方形の対角線なので、長さも角度も等しいです。
* ∠AOC = ∠BOD = 90° です。
* ∠OCA = ∠ODB = θ です。

よって、△AOCと△BODは二辺夾角がそれぞれ等しいので、合同です。

同様に、△AOBと△CODも合同であることが示せます。

以上より、四分割された部分の面積はそれぞれ等しくなります。

**問2：長方形で行った場合は分割部分の面積は等しくならない**

**解答**

長方形の場合、中心Oから任意の角度θで線を引いたとき、四分割された部分の面積は等しくなりません。

図4のように、長方形ABCDを例に考えてみましょう。

線OCと線ODが垂直に交わらない場合、四分割された部分の面積はそれぞれ異なります。

例えば、△AOBと△CODは、底辺の長さも高さが異なるため、面積も異なります。

また、線OCと線ODが垂直に交わった場合でも、長方形の辺の長さが異なる場合、四分割された部分の面積は等しくなりません。

例えば、長方形ABCDにおいて、AB ≠ CDの場合、△AOBと△CODは、底辺の長さも高さが異なるため、面積も異なります。

**図形問題の証明の書き方**

図形問題の証明を書くときは、以下の点に注意する必要があります。

* 論理的に矛盾なく説明すること
* 図を用いて説明を補足すること
* 専門用語を正しく使うこと

今回の問題の場合、以下のステップで証明を書くことができます。

1. 線OCと線ODが垂直に交わることを示す
2. △AOCと△BODが合同であることを示す
3. △AOBと△CODが合同であることを示す
4. 以上より、四分割された部分の面積はそれぞれ等しくなることを示す

**入試問題における証明の省略**

入試問題においては、証明の一部を省略することがあります。

ただし、省略する場合は、以下の点に注意する必要があります。

* 省略した部分が論理的に正しいことを示せること
* 省略した部分によって解答が変わる可能性がないこと

今回の問題の場合、以下の部分を省略することができます。

* 正方形の対角線が互いに垂直に交わることの証明
* △AOCと△BODが二辺夾角がそれぞれ等しいので、合同であることの証明

これらの部分は、数学的に基本的な知識なので、省略しても問題ありません。

**まとめ**

今回の図形問題は、中心Oから任意の角度θで線を引いた場合、四分割された部分の面積が等しくなることを示す問題でした。

解答は、図1と図2の証明を参考に、論理的に矛盾なく説明することができます。

入試問題においては、証明の一部を省略することがありますが、省略する場合は、論理的に正しいことを示せることと、解答が変わる可能性がないことに注意する必要があります。

endlessriver · Answer

訂正2・・・m(｡>__<｡)m

長方形の縦横を2b,2a(a≧bとしても一般性は失わない)とする。
分割線を
　y=mx (m>0)・・・①
　y=-x/m・・・・・・②
とする。

m=0のときは同じ面積となるのは自明。また、m<0 の場合は
上下を反転すれば、議論は同一視できる。

1. ①がx=a と交わるとき
　　m≦b/a・・・・③
　となる。
　①とx=aの交点は y₁=ma、②とy=±bの交点は x₁=∓mb
　これらの分割による面積は対称性から
　　A=ab-ay₁/2+b|x₁|/2=ab-a²m/2+mb²/2
　　B=ab+ay₁/2-b|x₁|/2=ab+a²m/2-mb²/2
　の2つを考えればよい。

　すると、A=Bとなるのは a=bの時、つまり正方形。

2.
(変更なし)

3.
　上の1、2の条件以外は対称性から、1、2に帰着する。ゆえに、

　同じ面積となるのは、分割線が、
　　・長方形(a≠b)のとき、x=0,y=0
　　・正方形のとき、分割線は任意(直交するが)
　となる。

mtrajcp · Answer

図の通り

endlessriver · Answer

訂正長方形の縦横を2b,2a(a≧bとしても一般性は失わない)とする。分割線を　y=mx (m>0)・・・① 　y=-x/m・・・・・・② とする。 m=0のときは同じ面積となるのは自明。また、m<0 の場合は上下を反転すれば、議論は同一視できる。 1. ①がx=a と交わるとき　　m≦b/a・・・・③ 　となる。　①とx=aの交点は y₁=x=a/m、②とy=±bの交点は x₁=∓mb 　これらの分割による面積は対称性から　　A=ab-ay₁/2+b|x₁|/2=ab-a²/(2m)+mb²/2 　　B=ab+ay₁/2-b|x₁|/2=ab+a²/(2m)-mb²/2 　の2つを考えればよい。　A=Bとなるのは m=a/bの時。 2. ①②ともy=b と交わるとき　　m≧b/a 　　-1/m≦-b/a 　つまり、　　b/a≦m≦a/b・・・・・④ 　となる。　①②がy=bと交わるのは　　x₂=b/m, x₂'=-mb 　同様に　　A=b|x₂'|/2+bx₂/2=b²(m+1/m)/2 　　B=2ab-A=2ab-b²(m+1/m)/2 　A=Bとなるのは　　2ab=b²(m+1/m) → 2a/b=(m+1/m) 　　 → m=a/b±√{(a/b)²-1} 　のとき。　まず、m=a/b+√{(a/b)²-1}>a/bなので④を満たさない。　また、　　　m=a/b-√{(a/b)²-1}=1/[a/b+√{(a/b)²-1}] 　　　　　<1/(a/b)=b/a 　となり、これも④を満たさない。 3. 　上の1、2の条件以外は対称性から、1、2に帰着する。ゆえに、　同じ面積となるのは、分離線が、　　x=0,y=0 　または　　対角線　の２通りとなる。

endlessriver · Answer

長方形の縦横を2b,2a(a≧bとしても一般性は失わない)とする。分割線を　y=mx (m>0)・・・① 　y=-x/m・・・・・・② とする。 m=0のときは同じ面積となるのは自明。また、m<0 の場合は上下を反転すれば、議論は同一視できる。 1. ①がx=a と交わるとき　　m≦b/a・・・・③ 　となる。　①とx=aの交点は y₁=x=a/m、②とy=±bの交点は x₁=∓mb 　これらの分割による面積は対称性から　　A=ab-ay₁/2+b|x₁|/2=ab-a²/(2m)+mb²/2 　　B=ab+ay₁/2-b|x₁|/2=ab+a²/(2m)-mb²/2 　の2つを考えればよい。　A=Bとなるのは m=a/bの時だが、条件から m≦b/aなので　　a≦b 　となるが、条件より、a≧b なので　　a=b 　となる。つまり、正方形の時しかない。 2. ①②ともy=b と交わるとき　　m≧b/a 　　-1/m≦-b/a 　つまり、　　b/a≦m≦a/b・・・・・④ 　となる。　①②がy=bと交わるのは　　x₂=b/m, x₂'=-mb 　同様に　　A=b|x₂'|/2+bx₂/2=b²(m+1/m)/2 　　B=2ab-A=2ab-b²(m+1/m)/2 　A=Bとなるのは　　2ab=b²(m+1/m) → 2a/b=(m+1/m) 　　 → m=a/b±√{(a/b)²-1} 　のとき。　まず、m=a/b+√{(a/b)²-1}>a/bなので④を満たさない。　また、　　　m=a/b-√{(a/b)²-1}=1/[a/b+√{(a/b)²-1}] 　　　　　<1/(a/b)=b/a 　となり、これも④を満たさない。 3. 　上の1、2の条件以外は対称性から、1、2に帰着する。ゆえに、　同じ面積となるのは、分離線が、　　x=0,y=0 　または　　a=bかつ対角線　の２通りとなる。

ありものがたり · Answer

＞ ↑これ、（学校の小テストではなく）
＞ 入試問題レベルでもこの程度の記述で充分でしょうか？

だから、採点条件なんて知らんがな。

証明問題なのか、合同性は単なる面積計算の道具なのか
題意を忖度しろって言ってるの。

ありものがたり · Answer

部分点の配点条件なんて、出題者しかしらんがな。

この問題が、「４つの小図形の面積が等しくなることを『証明せよ』」
という問題なら、証明は避けて通れないんだろうし、

「４つの小図形の面積を『求めよ』」だった場合には、
合同性については「回転対称性より明らか」程度に済ませて
(各小図形の面積) = (正方形の面積)/4 で計算して問題ないとは思う。

図形問題です。教えて下さい。

## 図形問題の解答

訂正2・・・m(｡>__<｡)m

図の通り

訂正

長方形の縦横を2b,2a(a≧bとしても一般性は失わない)とする。

＞ ↑これ、（学校の小テストではなく）

部分点の配点条件なんて、出題者しかしらんがな。

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