ベクトル解析についての質問です。 ベクトルの絶対値の微分と|r(t)|'と微分の絶対値|r'(t)|

ベクトル解析についての質問です。
ベクトルの絶対値の微分と|r(t)|'と微分の絶対値|r'(t)|は同じですか？

また、画像の問題の証明のやり方を教えて頂きたいです

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/09 15:59

同じわけあるかいな...

例えば r(t) = (cos t, sin t) に対して、
｜r(t)｜ = 1 だから ｜r(t)｜’ = 0,
r’(t) = (-sin t, cos t) だから ｜r’(t)｜ = 1.

No.2 回答者： cage64 回答日時： 2024/05/11 18:11

外積が出てきてるんだから、3次元のベクトルですよね。

A(t)=(a(t),b(t),c(t))
とでもおいて成分ごとに計算するだけの問題。
(4-1) 分数関数、合成関数の微分。
(4-2) 仮定は成分ごとにかけば ab'-ba'=0, bc'-cb'=0, ac'-ca'=0 。
これを利用して (A(t)/|A(t)|)'=0を(成分ごとに）いう。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/13 17:30

4-1の証明は簡単で

|A(t)|^2=A(t)・A(t)
の両辺をtで微分して、|A(t)|で両辺を割ればよい。

4-2はA(t)/|A(t)|をtで微分して0ベクトルになることを示せばよい。
A(t) x A'(t)=0ベクトルとなることからA'(t)=c(t)*A(t)と表せることを使えばよい。(c(t)はスカラー)