集合のベン図について教えて下さい

ベン図について、ご存知でしたら、教えて下さい
お願いします

（１）”ベン”というひとが、考え出したのですか？
（２）表現できる限界は、３つくらいだと思うのですが、
　　　ちゃんと説明されているような、サイトはありませんか？
　　　たとえば、日本にいる人を全体として、
　　　（Ａ）未婚者
　　　（Ｂ）女性
　　　（Ｃ）茶髪
　　　（Ｄ）ケータイがＪ－ｐｈｏｎｅ
　　　なんてのは、表現できないのではないかと・・・
　　　（２次元の紙１枚の上で）
（３）んで、もし（２）で限界がはっきりしているなら、
　　　それを解決する方法は、どんなのがあるのでしょうか？
　　　たとえば、「階層化」など・・・

（４）ベン図のように、集合を絵的（直感的）に表現する手法は、ほかにあるのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： oodaiko 回答日時： 2001/11/08 20:57

（４）

Venn 図ほどポピュラーではありませんが、よく知られているものとして
Haasse（ハッセ）図と言うものがあります。

Haasse図に関してはあまりいいサイトが見当たらなかったので具体例で簡単に
解説しておきます。

３つの集合の典型的なVenn図はご存知ですね。３つの円が品という字の
ように配置され、真中で交わっている奴です。ご存知なければここを御覧下さい
http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWha …

で、この３つの集合をＡ,Ｂ,Ｃとすると部分集合として
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ａ∩Ｂ,Ａ∩Ｃ,Ｂ∩Ｃ,Ａ∩Ｂ∩Ｃ
の７つがあります。Venn図では各部分集合が各領域に対応しています。
さてこの部分集合の間には
Ａ⊃Ａ∩Ｂ,Ａ⊃Ａ∩Ｃ,Ｂ⊃Ａ∩Ｂ,Ｂ⊃Ｂ∩Ｃ,……,Ａ∩Ｃ⊃Ａ∩Ｂ∩Ｃ
等の包含関係があります。

そこで各部分集合（この場合はＡとかＢ∩Ｃとかです）をあるルールに従って
平面上に配置し、さらにそのルールに従って各部分集合を線でつなぎます。
そのルールとは
”集合ＸとＹにＸ⊃Ｙという包含関係がある場合は、ＸをＹの上側
（真上でなくてもよい）に配置し、ＸとＹを線でつなぐ”
というものです。包含関係がない場合は位置の上下はどうでもよいとします。

このようなルールで作られた線図をHasse図といいます。下の図はそのようにして
作った３つの集合のVenn図に対応するHasse図です。
なお一番上のΦは空集合、すなわちどの集合にも属さないものを表します。
Venn図でいえばどの円にも含まれていない一番外側の領域に対応しています。


　　　　　　Φ
　　　　　／｜＼　
　　　　／　｜　＼
　　　／　　｜　　＼　
　　／　　　｜　　　＼
　Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ
　｜＼　　／　＼　　／｜
　｜　＼／　　　＼／　｜
　｜　／＼　　　／＼　｜
　｜／　　＼　／　　＼｜
Ａ∩Ｂ　　Ｂ∩Ｃ　　Ａ∩Ｃ
　　＼　　　｜　　　／
　　　＼　　｜　　／
　　　　＼　｜　／
　　　　　＼｜／
　　　　Ａ∩Ｂ∩Ｃ


このようにしてどんなVenn図に対してもそれに対応するHasse図が描けます。
しかし本来のHasse図はVenn図のように「集合」を表すものではなく、「順序構造」
を表すものであり、Venn図よりずっと応用範囲の広いものです。

各要素の間に「順序」という関係が定義されているような集合があるときに
”「順序」の大きいものＸを「順序」の小さいものＹの上に書き、ＸとＹを線で結ぶ”
というルールによりその順序構造を図にしたものがHasse図です。

ですから何らかの「順序」が定義されるような体系であればHasse図を書くことが
出来ます。
例えば会社の組織図なども一種のHasse図です。Ａ部がＢ課の上に書いてあれば
Ａ部はＢ課より「順序」が大きい（会社組織であればさしずめ権限があるという
ことでしょうか）ということを表しているわけです。

集合の集まりに対しても、集合の包含関係を「順序」関係とみなすことにより
順序構造が入るので、Hasse図で表現することも出来るのです。

下のURLにもHasse図の例が載っていますので参考にして下さい。必ずしも
集合のVenn図に対応したものばかりではありません。

参考URL：http://www.dmi.stevens-tech.edu/~llasser/gallery …

この回答へのお礼

oodaiko さん、たたみかけるようなご回答ありがとうございます。
じつは私は、質問（４）について、あきらめかけておりました。

パソコンディスプレイ上での集合同士の包含関係を、表現するのに適したものは、ないものか？と言うところから、出発した質問でした（ ＜ 何をいまごろ,はよ言わんかい）

ご教示いただいた
＞Hasse図
は、このような（隠した）要求を（も）ほぼ満足するものです。（だと思っています、「直感的に」・・）

特に、この絵に感銘いたしました。
＞　　　　　　Φ
＞　　　　　／｜＼　
　　　　　・・・・・

＞「順序構造」
階層構造、ネットワーク（グラフ）との 関連・差異さえ把握することがままならない状況ではありますが、勉強していこうと思います。

「Hasse図」をキーにした検索で、関連サイトも見つけられました。
http://www.gavo.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softki …

無知蒙昧な私の質問に丁寧にご回答いただき、ホントにありがとうございました。

今後、関連の疑問をもつ方が、oodaiko さんのご回答を見て、知識を深められること、それが将来の人類の知識レベルの向上につながる事を確信いたします。

ykkw_2001 （感謝）

お礼日時：2001/11/09 13:09

No.2 回答者： oodaiko 回答日時： 2001/11/08 13:34

ykkw_2001 さんこんにちは

（１）について
その通りです。
John Venn という論理・確率論の研究者が考えました。
Vennの経歴・業績については下のサイトが詳しいです（英語）
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ …

（２）原理的に表現できる集合の数に上限はありません。
グニャグニャの見にくい線で囲まれた領域で良いのなら
いくらでも多くの集合に対するVenn 図を描くことが出来ます

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWha …

このサイトの真中当たり「Do they always exist?」の部分に
２および３集合のVenn 図から出発してシステマチックに要素を増やしていく
方法が解説してあります。この方法で集合の数が２から８まで増えていく
様子のアニメーションもあります

ただしVenn 図の形にいろいろな条件を付ければ制限が出てきます。

・対称なVenn 図
この場合の対称とは回転対称性のことです。対称なVenn 図が描けるとすれば
それは集合の数が素数である時に限ります。ただしこれは必要条件なので
集合の数が素数であれば対称なVenn 図が必ず描けるということは言えません。

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennSym …
集合の数が５および７の場合の対称なVenn 図が載っています。


上で紹介したサイトは以下の参考URLの中のページです。ここにはVenn 図に関する
いろいろな研究の結果がまとめてあり大変参考になります
（ただし英語です。しかも本格的な数学のサイトなので専門用語だらけですが）

参考URL：http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

　　ジョ・・・・じょん・べん。

＃日本人じゃなくてよかったね。日本に生まれてたら、小学校でスンゲーいじめられそうです。

んなことはおいといて、業績を拝見いたしますと、

　　　　　偉い人だったんだ・・・

＞（２）原理的に表現できる集合の数に上限はありません。
だったんですね・・・　「トポロジ」を思い出しました。

＞・対称なVenn 図
　この辺で既に私の頭がオーバーヒート、その存在意義からして理解を超えてしまいます。
　とにかく、いろいろな研究がなされているもんだと言うことを知る事が出来ました。
教えていただいたＵＲＬは、もう少し時間をかけて、探検してみることにします。

ホントにありがとうございました。

＃偉いぞ、ベン！

お礼日時：2001/11/08 15:22

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/11/08 12:47

> （２）表現できる限界は、３つくらいだと思うのですが、

>　　ちゃんと説明されているような、サイトはありませんか？

限界について書いてあるわけではないですが、私のリンク集には、参考URLの
ページがあります。

参考まで。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

この回答へのお礼

そうそう、このような図で質問したかったんですが・・
円ではない形状を使うと、ｎ個できるわけですね。

う～しかし、４個あたりで私の動物的直感の範囲を超えてしまいます。

きれいに整理されている参考ＵＲＬをありがとうございました。

お礼日時：2001/11/08 13:50