大昔にそろばんをやっていたのですが、ずっと疑問に思っていたことがあります。
見取算ってあるじゃないですか?あれの答えが5級より上の級になると、6,123,456のように各桁の数を全部たすと9の倍数になるって先生におしえてもらってその法則を使って、確かめをしていました。しかし、この法則はすべて、足し算のときにしか使えません。
まったく、根拠を考えないで使っていたのですが、テキストの問題でも、本番の試験でも、答えが各桁の総和が9の倍数になるものでした。そのため各桁の総和が35だったりすると、もう一度やり直しをしたりなど、かなり重宝していました。
この方法は有名な法則なのですかね?なんでこのような現象が起きるのか分かる人がいたら教えてください。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
もともと、「九去法」という検算の方法があって、それをふまえた問題を出すような規定があったそうですね。
「かつての日商(日本商工会議所)の珠算検定の見取算と伝票算では、各問題ごとに0~9までの数字をそれぞれ同じ回数ずつ使うという作問規定が存在していました。」(下記 URL から)ということで、0~9まで足すと45(で9の倍数)それを何組作っても各桁の和は45の倍数(つまり9の倍数)になります。
一方で、九去法とは足す数の各桁の和と、答えの各桁の和が等しくなるという検算方法ですが、これは、ある数の各桁の和は、その数を9で割ったあまりに等しいという性質に依存します。
つまり、9で割っていくら余るという余りだけを足して検算しているのと同じ事になります。
そして、各桁の和と、その数字を9で割ったあまりに等しいという性質は、1234を例にすれば、
1234 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4
= 1 * (999 + 1) + 2 * (99 + 1) + 3 * ( 9 + 1) + 4
= 1 * 999 + 2 * 99 + 3 * 9 (ここまで9の倍数)
+ 1 * 1 + 2 * 1 + 3 * 1 + 4 (ここが各桁の和=余り)
という仕掛けです。
参考URL:http://albspa.web.infoseek.co.jp/albspa_abacus_s …
解答ありがとうございます。
そろばんの問題にはそんな作成規定があったのですね!
その作成規定のせいで、僕みたいに確かめ算をして、答えが合っているかどうかが知れたわけですね。ずっとひっかかてた疑問が晴れました!ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
前の方がおっしゃっている通り、整数Nの各位の和が9の倍数ならNは9で割り切れることがいえます。
…※まず、Nが5桁の数字の場合に※を証明します。
このとき、N=10000a+1000b+100c+10d+eと書けます。
N=10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
a+b+c+d+eは9の倍数だから、a+b+c+d+e=9kと書ける
したがって、9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)=9999a+999b+99c+9d+9k=9(1111a+111b+11c+d+k)
となるので、N=10000a+1000b+100c+10d+eは9で割り切れることがわかります。
よって、Nが5桁の数字の場合、※が正しいことが言えました。
一般にNがn+1桁の場合で※を示してみます
Nは、N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0と書けるので
N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0={10^n-1}(a_n)+{10^(n-1)-1}{a_(n-1)}+…(10-1)a_(n-1)+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}=9…9*(a_n)+9…9*{a_(n-1)}+…+9{a_1}+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}
a_n+a_(n-1)+…+a_0は9で割り切れるので、a_n+a_(n-1)+…+a_0=9Kと書ける。
よって
9…9*(a_n)+9…9*{a_(n-1)}+…+9(a_1)+{a_n+a_(n-1)+…+a_0}=9(1…1*(a_n)+1…1*{a_(n-1)+…+a_1}+K)
となるので、N=10^n*(a_n)+10^(n-1)*{a_(n-1)}+…+a_0は9で割り切れることがわかります。
よって、Nが何桁の数字であっても※が正しいことが言えました。
※は昔から知られた有名な倍数判定法です。
早急な解答ありがとうございます!
各桁の数の和が9の倍数になれば9の倍数なのですね。
初めて知りました。証明も容易に理解できました。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
有名な法則ですね。
同様に
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/mu …9の倍数
参考URL:http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/ …
早急な解答ありがとうございます!
各桁の数の和が9の倍数になれば9の倍数なのですね。
初めて知りました。証明も容易に理解できました。
ありがとうございました。
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