A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
その式から直接欲しい総和則が出てくるわけではないと思います。
それはもっと一般的な総和則を導くための生成関数でしょうね。exp(ikx)=A(k)とおきます。
(1)...... [[H,A(k)],A(-k)]=-(hk)^2/m
が求まったわけですよね。さらに両辺を<n| |n>でサンドウィッチしてやって
(2)・・・・・・ <n|[[H,A(k)],A(-k)]|n>
=2Σ_l (E_n - E_l) |<l|A(k)|n>|^2
が出ました。(1)と(2)より
(3)...... 2Σ_k (E_n - E_l) |<l|A(k)|n>|^2
= -(hk)^2/m
ですが、この式は欲しい総和則以上の情報も含む、もっと一般的なものです。数学では良く母関数とか生成関数とかいいます。何故なら、両辺をkで微分すれば総和即の系列が得られるからです。いろんな総和側を生み出す元になる関係式だから母関数。
ためしに(3)をkで二回微分してk=0とおくと
2Σ_l (E_n - E_l) (d/dk)^2 |<l|A(k)|n>|^2
= 2Σ_l (E_n - E_l) (d/dk)^2 <l|A(k)|n><n|A(-k)|l>
= 2Σ_l (E_n - E_l) {<l|A''(k)|n><n|A(-k)|l>
+ 2<l|A'(k)|n><n|A'(k)|l>
+ <l|A(k)|n><n|A''(-k)|l> }
= 2Σ_k (E_n - E_l) {<l|-x^2|n><n|l>
+ 2<l|ix|n><n|-ix|l>
+ <l|n><n|-x^2|l> }
ですが、一つのAを二回微分した項は<l|n>=δ(l,n)と
(E_n-E_l)のためにゼロになりますから
=2Σ_k (E_n - E_l)2<l|ix|n><n|-ix|l>
=4Σ_k (E_n - E_l)|<l|x|n>|^2
右辺の(hk)^2/mのkの二回微分は2h^2/mですから
Σ_k (E_n - E_l)|<l|x|n>|^2=h^2/(2m)
でThomas....総和則が出てきます。どこからで2倍ずれているような気もしますが、あとは自分で確認してください。kを三回や4回微分したら新たな総和則がだせますよね。
No.2
- 回答日時:
やりたいことが分らないので補足おねがいします。
特定の導出方法で導きたいんですね? 出発点と最終結果は書かないと分りません。あとexp(ikx)とかのkは運動量演算子ですか、それとも単なる数ですか?No.1
- 回答日時:
この回答へのお礼
お礼日時:2006/05/08 04:28
http://atlas.riken.go.jp/~iitaka/jj/node9.html
は参考にさせてもらってました。
最後の1行までは同じやりかたでやってたんですけど、[[H,exp(ikx)],exp(-ikx)]=-h^2×k^2/M
を用いて証明しているので・・・
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