正方形は長方形でもあるの？

正方形があったとき、それを長方形とも呼ぶのでしょうか？

つまり、正方形の集合は、長方形の集合の部分集合でしょうか？

言葉の使い方は、あいまい性があるのは十分理解しています。
でも、ある程度は、共通認識があると思います。

たとえば、小学校では、正方形は長方形とはいいません。大学では、専門書内によって、その立場が明確にされていると思います。

微妙なのは、高校ではどういう認識なのか、大学ではどういった認識がメジャーなのか、どういった分野ではどういった認識がされる場合があるか、ということです。

あと、発展的な解釈も気になりますので、教えていただけないでしょうか。

矩形との違いは？

長方形で、１辺が０になったときも、考える分野はあるのか？

長方形で、１辺がマイナス、もしくは純虚数になったときも、考える分野はあるのか？

その他に、発展的解釈をする分野はあるのか？

No.6 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/05/26 11:35

高校では、正方形も(特別な)長方形という認識でよいです。

おそらく中学でもそうです。三角形の性質（中学）、三角比やベクトル（高校）でそのような扱いをします。

特に高校でよくあるのは、三角形や四角形の形状決定と呼ばれる類の問題です。三角比の方程式、あるいはベクトルの方程式が与えられた3点あるいは4点のなす図形の形状を言え、という問題です。たとえば、
vec{AC}=vec{AB}+vec{AD}となったとすると、これは平行四辺形だと結論します（もちろんA,B,Dが同一直線状にないという前提で）。あるいは長方形かも知れないが、平方四辺形に違いはない。だから高校では長方形も平行四辺形と呼ぶのです。そうじゃないとこの問題は、平行四辺形か長方形かひし形か正方形とか意味の分からない答えを書く必要に迫られます。

もちろん内積vec{AB}・vec{AD}=0なら長方形にもなります。なのに、平行四辺形と書いたらそれは明らかに間違いです。長方形でない平行四辺形があるからです。そういうわけで中学高校でも(平行四辺形)⊇(長方形)という認識でよいのですが、上でも述べた通り、ここが大学以上の数学と決定的に違うところですが、長方形をさして、平行四辺形と呼んではいけません。試験で×をされます。つまり長方形ではない平行四辺形が存在するからです。その意味では、(狭義の)平行四辺形とは長方形ではない(広義の)平行四辺形であり、長方形とは特別な(広義の)平行四辺形である、というふうにとらえるのがいちばん中高の数学にマッチします。ただこのことを教えると混乱させるので、あやふやなままにしておいていいのです。別にそれで何の問題もおきませんし。

矩形は長方形と同義です。さすがに1辺が0だと気持ち悪いですが、インターバルの直積でかける集合[a,b]×[c,d]を矩形と呼んだりするので、その意味では別に1辺が0や、マイナスや純虚数の長方形だってあってもよいかも知れませんね。たとえば平面全体も長さ無限大の矩形とみなすわけです。ただ、普通は全部実数で、a<b、c<dぐらいは仮定するので、上の形をしていたら何でも長方形と呼ぶと思いたいならそれはそれでいいですが、あまりそういうものは出てきたりしないですし、長方形と呼ぶか呼ばないかなんて趣味の問題でしかないから、そんな解釈をしたからといって数学が進むという話ではありません。ので、考える分野があるか？という問いはあんまり意味がなくて、考える人もいる、ということです。

余談ですが、包含関係が完全にずれている用語に代数で出てくる「体」と呼ばれるものがあります。実は「可換体」と「非可換体」と呼ばれるものが考えられるのですが、単に「体」といったら「可換体」のことを指し、「非可換体」は「体」の特別な場合ではないという認識です。じゃあ「可換体」とか「非可換体」とかいっている言葉の中にある「体」って何じゃい？という話になるわけですが、それはあんまり気にしないでください、ということです。この話、「体」→「平行四辺形」、「可換体」→「平行四辺形」、「非可換体」→「長方形」と読み替えると、似たような話ですよね。

この回答への補足

納得できるご回答に感謝します。

高校・大学などと立場が明確でない場合に、一般の数学用語としての解釈は、多少はバラバラのようですね。
別の方のご回答がバラバラなように。

人間は動物か、といったとたずねたときの回答も多分、バラバラでしょうね。

補足日時：2006/05/26 11:49

No.8 回答者： NBN 回答日時： 2006/05/27 17:43

厳密な意味の違いはわかりませんが，中学校でどのように分けているかは，次の辞典が参考になると思いますので，紹介します。

この書籍は，中学で習う数学の用語＆公式集で，小学校から高校の数１まで扱われています。

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No.7 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/05/26 14:26

少し気になったので、あえて回答します。

＞別の方のご回答がバラバラなように。

とありますが、私にはほとんど一貫しているように見えます。
数学としてみる場合には、どれも正しいといえると思います。

日常的、文学的表現としては、「正方形は長方形である」というのは抵抗があるでしょうが、
数学で約束された正方形、長方形の表現としては、正しいといえます。

中学以上になって、数学と名がつくと次のようにことばを約束します。
四角形（四辺形）・・・4つの角（辺）をもつ
台形・・・・・・・・・向かい合う１組以上の辺が平行
平行四辺形・・・・・・向かい合う2組の辺が平行
長方形・・・・・・・・平行四辺形で1つの角が直角
　　　　　　　（結果的に4つとも直角になる）
ひし形・・・・・・平行四辺形で隣り合う辺が等しい（長さ）
　　　　　　　　　（結果的に４辺とも等しい）
正方形・・・・・・長方形で隣り合う辺が等しい（長さ）
　　　　　　　　　（結果的に４辺とも等しい）

　　または・・ひし形で1つの角が直角
　　　　　　　（結果的に4つとも直角になる）

このように約束しますから例えば、
「平行四辺形は台形である」とか
「正方形は台形である」や
「ひし形は平行四辺形である」や
「正方形は平行四辺形である」
などはすべて正しい、ということです。

この段階で長方形は長いとか、ひし形の角は直角でないという（約束事以外の）先入観は捨てることになります。
長方形という名前は誤解を招きやすいとは思います。
長方形といわずに矩形といったら幾分納得いくと思います。
矩形は（正方形を含む）長方形と同じ意味です。

この約束で中学だろうが、高校だろうが、大学だろうが一貫性が取れるということです。

もちろん、いろんな意味合いを広げて一般化することもありますが、その場合にはきちんと約束事を明記しますので混乱は起こりません。

同様に
＞人間は動物か、
ということも、生物的な分類として語る場合と、日常的に（暗黙のうちに）人間を除き人間と対置して「動物」という場合の違いでしょう。

No.5 回答者： mirage70 回答日時： 2006/05/26 11:08

正方形があったとき、それを長方形とも呼ぶのでしょうか？

別のものとして扱うはずです。

正方形の集合は、長方形の集合の部分集合でしょうか？
集合としては、
四辺形…４つの辺
　↓
台形…１組が平行
　↓
等脚台形…１組が平行で、残りの辺が等しい
　↓
平行四辺形…２組が平行で、各組の辺が等しい
　↓
(長方形、菱形)
　↓
正方形(長方形及び菱形に含まれます)
だったと記憶しておりますが?

No.4 回答者： nuruo 回答日時： 2006/05/26 10:51

正方形は長方形の1つです．

ちなみに長方形は平行四辺形の1つですので正方形も平行四辺形の１つです．
正三角形は二等辺三角形の１つでもあります．

No.3 回答者： noname#17739 回答日時： 2006/05/26 10:35

基本的に数学の世界では正方形なんてどうでもいいのです

単にa=bの長方形的な扱い
同様に長方形も４つの角が９０度な四角形でしかありませんし
四角形は三角形が２つくっついたものとして考えたほうがはやいです

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/05/26 10:31

ご質問を読んで、大昔の漢文の教科書にあった「白馬は馬に非ず」（韓非子だったでしょうか）を思い出してしまいました。

白馬（の集合）は馬（の集合）の部分集合です。だから、白馬は馬の一種です。別の言葉で言えば、白馬は馬であるための性質を全て持っていて、その上に「白い」という性質を持っています。

白馬は馬ですが、馬（の全て）は白馬ではありません。

集合全体について成立する性質があれば、当然部分集合についてもその性質は成立します。しかし、部分集合について成立する性質は全集合について成立するとは限りません。それだけです。

No.1 回答者： a-saitoh 回答日時： 2006/05/26 09:33

日本人もまた地球人ではあるけれど、日本人を指してわざわざ「地球人」とは(普通は)呼ばないのと一緒じゃないかなぁ。

小学校では、正方形もまた長方形の一種であるということは習わないのかも知れませんが。だからといって、「正方形は長方形とは異なる」とは教えてなかったはずですが。(つまり、「全ての内角が90°の四角形のうち、隣あう辺の長さが『異なるものだけ』が長方形」という教え方はしていなかったはず・・・)

「大学では、専門書内によって、その立場が明確にされていると思います。」などという事はないでしょう。「長方形は全ての角が90°の四角形」「正方形は内角が90°で全ての辺の長さが同じ四角形」が同じと定義した時点で　正方形が長方形の一種になります。議論の余地はないとおもいますがねぇ。

ただし、非ユークリッド幾何学とか、小学校で習う「図形」の延長線上ではない世界ではどうなっているのか知りませんが。

矩形、はrectangleと同じ、つまり、長方形だったとおもいます。こちらは国語辞書的な問題ですが。