2種類の面を転がるボール（高１）

友達が、次の二つのコースは、(2)のコースの方が速いと言っていました。
初速度は(1)のボールも(2)のボールも同じで、
水平距離も同じです。

(1)のコース

　→　　　　　　　　　ゴール
　○　　　　　　　　　
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　


(2)のコース

　→　　　　　　　　　ゴール
　○
　￣￣＼＿＿＿＿／￣￣
　


(2)のコースの方が、速度は速く
なるけど、走る距離が長くなりますよね？
ということは、
斜面の長さとか、角度とか、
低い部分の距離によって、
(1)のコースが速くなったり、
(2)のコースが速くなったり、
同時にゴールしたりすると思うんだけど。。

No.15 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/08 20:22

＃９です。

レールに束縛された運動を考えていました。拘束力が垂直抗力と重力だけなら、折れ曲がった箇所で浮き上がってしまうからです。斜面の勾配がきつくなると、折れ曲がった箇所で浮き上がり、放物運動をして、ある箇所で斜面に衝突します。跳ね返りがないものとすれば、玉は斜面を転がっていくでしょう。坂が短い場合には、放物運動した玉は斜面に接することもなく、直接、水平な底面に衝突するでしょう。浮き上がらないためには、折れ曲がった箇所の曲がり具合や、初速度等に制限を与える必要がありますが、それは、高校生レベルを超えます。単純に、浮き上がりを防ぐためには、折れ曲がった箇所に玉の運動方向を誘導するレールが必要だと考えました。

みなさんの回答、大変参考になりました。ありがとうございます。

この回答へのお礼

みなさんありがとうございます。

ここまでの流れは大分理解しました。

もし、レールの誘導なく、
初速度や、斜面の角度の制限を満たして、
ボールが浮かずに斜面を転がったとしたら、
斜面の長さ、低い部分の距離にかかわらず、
必ず、(2)のコースの方が速くゴールするのでしょうか？

♯８さんの方法で、斜面途中のＸ軸成分の速度（例えばh/2だけ下った位置での速度）を、求めました。
それと、エネルギー保存の法則で斜面途中の速度を求めて、その速さを、Ｘ軸成分に変換してみました。

この２つの速度が一致しません。

その理由をだれか解決できますか。

お礼日時：2006/08/08 20:39

No.16 回答者： hene 回答日時： 2006/08/08 20:41

#12です。

wakiwakiwakiさんの質問があいまいだったので、混乱しましたね。
拘束条件について意思疎通ができていなかったからです。

wakiwakiwakiさん、質問の内容、前提条件をはっきり伝える努力をしましょう。
答える方を疲れさせたり不快にさせたりして、もし答えてくれなくなったら、あなたの不利益ですから。（例えば#5のコメントを見てください。）
お友達と話が合わなかった理由はもう分かっていますね。
納得したところでクローズしましょう。

訂正：oyaji7さん -> ojisan7さん
失礼しました。

さて混乱が増幅されそうなのでコメントします。
おそらくこれが最後になります。新しい回答が入ってもメールを受け取らないようにしました。
私のコメントがもし間違っていたら、自分で正しい答えを出して納得してください。大筋が見えたので、末葉はもう気にしません。

ボールに働く力が「重力と、地面からの垂直抗力」であるとみなして考えた書き込みは
1, 3, 5, 6, 7, 8*, 10, 11*
です。これらは質問者の意図を分かっていないので、正誤にかかわらず無視します。勘違いです。
*印は私の書き込みです。

ボールに働く力が「重力と、地面に張られたレールへの拘束力」であるとみなして考えた書き込みは
Question, 4, 9, 12*, 15
です。この議論が質問者の意図する本筋です。

次の書き込みはどの立場で何を議論されたのか私には分かりませんでした。
2, 13, 14


気持ち悪いので、wakiwakiwakiさんの考えた拘束条件で時間t2を計算します。
ojisan7さんにあわせて

　a/2　c　　b　　c　a/2
h ￣￣＼＿＿＿／￣￣

とします。c=0が#9の場合です。すると
t2=a/v0
+b/√(v0^2+2gh)
+2(√[v0^2+2gh]-v0)*√(h^2+c^2)/gh
となります。
c=0とすると#9の答えと一致します。

t2-t1は、正にも負にもなります。
(1)と(2)のどちらが速く着くかはb, c, h, v0の関係に依存します。

基本的なことが誤解されているように見えてつい口出ししましたが、前提の勘違いと分かって安心しました。
では。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
いろいろな方向から考えていただけたので、
すごい感謝しています。

すごい勉強した気分になりました。

お礼日時：2006/08/08 20:59

No.14 回答者： ht1914 回答日時： 2006/08/08 19:23

＃１３です

問題をちょっと整理します。
＃４で「簡単のためａ＝０とする」とありました。簡単のためでなくてａ＝０としていいのです。（１）（２）を比べられたらわかると思いますがａの部分は（１）（２）に共通なんです。だから結果に無関係ということになります。同じ速度で運動を始めたという様子をわかりやすくするために入れてあるものです。斜面も意識した上で初速度は共通とすればａの部分は必要ありません。でも当然Ｖ０＞０ですね。Ｖ０＝０であれば（１）はゴール出来ないのですから。このことから当然、Ｖ０はある程度大きくないといけないということも出てきます。片方は重力で加速されるのですからＶ０が小さければ話にならないのです。だから問題は斜面、底辺、初速度の３つの関係です。

最速降下線の問題は初速度０という境界条件で解いているものです。任意の初速度に対してもサイクロイドが最速であるという解説があるのであれば参考までに教えて下さい。ありがたいです。
仮にサイクロイドという曲線があって最速で行くようだということがあっったとしても＃１の方のようにそれが答えだということを聞いているのではないでしょう。他の曲線に沿っていけば時間がかかるわけですから質問のように道筋によって速い、遅いが変わるということが起こることになります。質問を取り違えていることになります。
Ｖ字型、出来ましたか。浅ければ（２）が速く、深ければ（１）が速いという予想です。

No.13 回答者： ht1914 回答日時： 2006/08/08 16:03

色んな回答があり、補足がありでチェックし切れていません。

時間がかかりますのでしばらく開けておいて下さい。
まず質問の意味がはっきり伝わっていませんでした。それに早とちりで回答したものもあり、混乱してしまいました。やはり、質問でもう少し丁寧に疑問点を出されていた方がよかったと思います。補足を見て「ここに質問のポイントがあるんだな」とわかったところもありますから。なまじＴＶでよくやるクイズと同じ表現をとっているからよけいに早とちりを引き出してしまいました。
斜面が問題だということがうまく伝わってなかったと思います。ＴＶでやるのは水平部分が長くて斜面のウエイトの小さい場合です。だから「斜面の部分に対して水平部分が長いときは～だ」と一旦認めてから「斜面のウエイトの大きいときでも時間の大小関係は同じなのだろうか」という疑問として出されたら良かったと思います。補足で補ったことを初めから質問に出されたら良かったということです。極端な場合は斜面しかないときです。谷底の水平面がなければどうなるかです。それも補足で書いておられますね。斜面しかなくて底が深ければ加速によって大きい速度を得ても時間を稼ぐ運動がないのですから（２）の方が時間がかかるのではという予想は当然なり立ちます。加速に要する時間ばかりかかってその結果を生かす場面がないのです。

直線運動で構わないでしょう。曲がり角での衝突も考えないとして良いでしょう。それでどれだけのことが言えるかです。

エネルギー保存を持ち出しておられる方がいますが違います。これは時間に対する斜面の効果を考えていないものですから見当違いです。エネルギー保存は時間に対する情報を含んでいません。このことが逆に時間を追っかけることの出来ない運動に対しても速度を求めることが出来るという意味で効力を発揮するのです。高校で出てこないような微分方程式を解く代わりにエネルギー保存で速度を求めることが出来ます。「落下地点までの高さの差が同じであれば斜面の下での速さは斜面の形にはよらず決まる」と言うのはよくエネルギー保存の適用例として出てきます。でも時間は斜面の形によって変わります。解ける式も解けない式もあります。だからエネルギー保存が使われるのです。でも質問の意味から離れていることがわかります。また＃８にあるような「エネルギー保存則から、凹んでいる部分では(2)の方がx方向の速さが速いでしょう。だから凹みがどんな形でも(2)の方が速く着きます」というのもおかしいです。

＃４は＃９で修正されました。まず＃４について書きます。（＃７の方も＃４に対して修正を出されています。この吟味が終われば突き合わせることによって＃７の方の問題点も明らかになると思います。）

（２）はａ／２水平に進んでｈ落下、その後ｂ水平に進んでｈ上昇、ａ／２水平に進むとあります。これに対して（１）のかかった時間は（ａ＋ｂ）／Ｖ０となっています。端から端までの水平距離は同じというのが初めの条件でしたからこの場合の（２）の斜面は鉛直のものです。ちょっと極端ですがモデルとしてはあり得ます。きちんと解けば一つの解です。（これが井戸型だとはっきり書いておいてくれたら誤解が少なかったでしょう。）
それに対する（２）の時間はａ／Ｖ０＋ｂ／√（Ｖ０＾２＋２ｇｈ）＋２√（２ｈ／ｇ）となっています。
第一項はわかります。２つのａ／２区間をＶ０で走った時間です。第２項がｂ／Ｖに相当しますからそこの水平区間を走った時間です。その速さが√（Ｖ０＾２＋２ｇｈ）であるとしているのは上の端で飛び出したのではなく初速度Ｖ０で鉛直な斜面をｈ落下したときの速さです。（放物運動の式的には真下に初速度Ｖ０で投げ下ろした場合に一致します。）ちょっと無理がありますがそういうモデルだとします。第３項は高さｈの鉛直の斜面を降りたときと上がったときの時間です。√（２ｈ／ｇ）は自由落下の時の時間と一致しています。矛盾しているのがわかりますね。速度の計算では初速度Ｖ０の投げ降ろしとしていながら時間の計算では初速度０の自由落下としています。モデルは認めても計算に矛盾があります。落下時間を求める式は投げ降ろしですから高等学校でやっています。ｈ＝Ｖ０ｔ＋（１／２）ｇｔ＾２を解けばいいのです。ｔ＝（ーＶ０＋√（Ｖ０＾２＋２ｇｈ））／ｇです。＃９で修正されたものになります。

このモデルだと壁が鉛直な井戸の中に落ち込むということになりますからｈが大きくてｂが小さければ（１）のほうが時間が小さくなります。ｂがゼロの場合、単に寄り道をしただけです。水平距離は稼いでいないということですからｈ＞０であれば常にｔ２＞ｔ１です。ｂはある値よりも大きくなるとｔ１＞ｔ２となります。不等式を解いてみて下さい。さらにもう一つ出てきます。Ｖ０が小さければｂにほとんど関係せずにｔ１＞ｔ２になります。これはＶ０が小さくなれば（１）では時間がいくらでも大きくなるが（２）では重力で加速というプロセスが必ず入っているのでかかる時間が変わらないからです。

これがまず＃４の方のモデルです。井戸に落ち込むモデルです。これの理解で食い違っておられる方もいるようです。質問は元々斜面だったのですからこれでは納得できないと思います。それでも深さと底の距離との関係で時間の大小関係は変化するというのが出ています。
では斜めの場合はどうなるでしょうか。台形を逆にしたような道筋の場合です。Ｖ字型はその一つの極限です。もう既にある程度考えておられるようですので保留します。難しくはありません。長くなりましたので次にします。
＃１１の方が言われているようになめらかに接続させるというのはこのような議論全ての前提になっています。その接続部分の大きさは全体に対して小さいとしています。斜面の角度によらずそのように考えています。ｏｊｉｓａｎ７（＃４）の回答を水平に運動していたものが鉛直に運動方向を変えることはあり得ないという立場で批判しています。これは筋違いです。
質問は斜面と底の部分のウエイトの関係で時間の大小関係が変わるかどうかですから接続の仕方にこだわってそれにより大小関係が変わるという結論は「？」です。
物理の問題集の別の単元ではなめらかに接続させるというのが中心になっている問題がたくさん出てきます。直線運動と円運動をつなぐ場合が多いです。束縛運動が成り立つ条件も出てきます。円筒内部を転がっていた物体が何処で壁から離れるかという問題です。これらは別の問題です。今ここで出す問題ではありません。（＃１２ですぐに修正されていますが、・・・？）

No.12 回答者： hene 回答日時： 2006/08/08 13:04

「レール」を考えているのですね。

重力と垂直抗力以外に、ボールをレールに押さえつけておく力があるなら、話は別です。
wakiwakiwakiさんやoyaji7さんの言うとおり、どちらが先に着くかは一概には言えません。
違う前提で問題を考えてしまったので、答えが違って当然ですね。

この回答へのお礼

一つの問題でも、
少し前提が違うだけで、
これだけ考え方、結果が変わってくるのですね。

ほんとうにみなさんありがとうございました。

やっぱり物理おもしろいです。

お礼日時：2006/08/08 13:11

No.11 回答者： hene 回答日時： 2006/08/08 12:50

首を突っ込んでしまったので、言いっぱなしにせずコメントしておきます。

wakiwakiwakiさんの問題は、概念的に厄介で、物理の問題としては良問ではないと言った方が良いかもしれません。物理を理解する材料としては良問ですね。

前提として、「水平面も斜面も平面」だと考えていますね？
そしてボールに働く力は「重力と地面からの垂直抗力のみ」だとしていますね？
そうすると、ボールは必ず斜面が始まるところで浮き上がってしまいます。ボールの初速度や斜面の斜度がどんなに低くても、浮き上がります。水平方向に投げたボールは、下に支えがなくてもすぐには落ちないでしょう、と言ったらわかってもらえますか。
もしwakiwakiwakiさんが、どんな形の地面でもその地面にぴったり沿ってボールは運動すると期待しているなら、それは誤解です。ありえません。

さてどの回答を見ても、実際にありえない運動を、wakiwakiwakiさんの期待に沿うような似たような問題に置き換えています。そうせざるを得ない。
そうすることによって、なるべくwakiwakiwakiさんの想像している運動に近くて、力学の法則に従った運動を皆さん考えているようですね。

私の回答の前半部分(直観的説明)は、次の仮定を含んでいます。
i)斜面は滑らかに変化して水平面とつながっている。
ii)斜面の始まるところ(#8でaとbのつなぎ目や、dとeのつなぎ目)では、ボールが浮き上がらない程度に十分ゆっくり斜度が変化する。

ボールが地面から離れない限り、(2)の方が速いという答えです。

後半部分の計算は、正しくありません。それは斜度の変化を含めたx軸方向への加速度を正しく考えて計算していないという意味です。ごめんなさい。修正や計算の説明はしません。

ではボールが地面から離れたら、(1)の方が速く着くことがあるか？
答えはYesです。
例えば#8でdとeのつなぎ目が十分急激に変化していると、そこでボールの運動量mv0のうち一部がz軸方向の成分を持ち、x軸方向の速度はv0より小さくなります。ボールは跳ねながらeを進んで(1)より速く着くかもしれないし遅く着くかもしれません。つなぎ目の角度によっては真上や左側に飛び出して右端に到着しないかもしれません。

十分に急な斜面で十分に深い凹みを考えたら？という素朴な疑問にもコメントします。
>例えば、大げさに（下の図をもっと大げさに）
>水平距離は同じで、
>すごい急な斜面を作る。
>すごい長い
>道のりを走らせる。この場合は、
>(1)の方が速く着きませんか？
ボールは斜面を転がらずに飛び出して反対側の斜面にぶつかってしまうでしょう。弾性的に跳ね返りながら(1)より遅く右端に到着することはありえます。

それからojisan7さんの答えにもコメントしておきます。
間違っていませんが、wakiwakiwakiさんの素朴な前提に反していませんか？
ボールが壁に達したときに、水平方向の速さがv0から0になり、垂直方向の速さが0からv0になると仮定していますね。それは「重力と垂直抗力以外の力」が働かないとありえない運動です。wakiwakiwakiさんはそのような答えが欲しいのでしょうか？

大学に入って力学の勉強をしたら、#1の方の意図も理解してあげてください。

No.10 回答者： Interest 回答日時： 2006/08/08 08:33

ANo.3 = 6 = Interestです。

ごめんなさい、私の計算間違ってますね（汗）

低い区間 b におけるボールの速度をVbとすると、
　1/2 mV0^2 + mgh = 1/2 mVb^2
から、
　Vb = √(v0^2+2gh)
ですね。なので、ここを通過する時間はANo.8の方の回答どおり。（記号の使い方は異なりますが。）
　
それに、上り坂／下り坂と平坦な区間では、水平方向の速度が連続していないことに気づいてしまいました。

No.9 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/08 03:00

ちょっと訂正させて下さい。

t1=(a+b)/V0
は、これで正しいのですが、（２）の時間t2は、
t2=a/v0＋b/√(v0^2+2gh)+{-2v0+2√(v0^2+2gh)}/g
となります。

で、結論は、質問者さんの予想でやはり、正しいと思います。（２）の方が早くつくという意見が多いようですが、これはどうでしょうか？ということは、t1>t2となるということですよね。しかし、上記の式を見れば明らかに、ｈが大きいほど（ｈが限りなく大きくなる場合を考えて下さい）、t1<t2となります。

No.8 回答者： hene 回答日時： 2006/08/08 01:14

たまたま通りかかったのですが、気になったので書き込みました。

(2)の方が速く到着します。
左右方向をx軸、上下方向をz軸としましょうか。
x軸方向の移動距離は、(1)と(2)は同じです。エネルギー保存則から、凹んでいる部分では(2)の方がx方向の速さが速いでしょう。だから凹みがどんな形でも(2)の方が速く着きます。
坂道が気になりますか？転がり落ちるときは地面からの反作用でx方向にも加速されますね。登るときもx軸方向に減速されてv0に戻るわけなので、結局は速いことになります。(1)より遅くなることはありません。

ちなみにどのくらい速いかを計算してみます。
x軸方向の距離を、水平面、斜面、水平面、斜面、水平面の順にa, b, c, d, eとし、高さをhとします。

　　a　　b　　c　　d　　e
h ￣￣＼＿＿＿／￣￣

重力加速度をgとします。
初速度がv0なら、かかる時間は
a/v0
+(h^2+b^2)/(ghb)*(√[v0^2+(2ghb^2)/(h^2+b^2)]-v0)
+c/√(v0^2+2gh)
+(h^2+d^2)/(ghd)*(√[v0^2+(2ghd^2)/(h^2+d^2)]-v0)
+e/v0
ですね。第三項が
c/√(v0^2+2gh) < c/v0
であることは良いとして、第二項と第四項がそれぞれb/v0, d/v0よりも小さいことは、高校1年生に確かめられるかな？どちらにしても始めの直観的な説明で本質は尽きていると思います。

ちょっと厄介なのは、エネルギー保存則を満たすために、bからc移るときに、z方向の運動エネルギーが瞬間的にx方向の運動エネルギーにかわることを認めないといけないことでしょうね。cからdも同じです。
やさしい問題のはずが、概念的にはかえって難しくなってしまう例でしょうか。

この回答へのお礼

返事ありがとうございます。

Ｘ軸方向のみの計算をされていますが、
第2項と第4項のv0が、Ｘ軸成分に変換されていません。
よって、運動する方向を右下に変化させているにもかかわらず、（レールを走っていると考えるので、斜面に沿ってv0となる。そうしないと、斜面にかかったときに、斜面をはなれて、飛んでいく可能性がありますから。）
Ｘ軸方向の速度が水平面を走っているときと同じ
になっているので、計算が違うと思います。


第2項、第4項のv0は、bv0/√(h^2＋b^2)
で計算しないといけないと思います。

これで計算すると、やはり、hやbの値によって、
どちらが速くゴールするか、
かわってくると思います。

お礼日時：2006/08/08 10:26

No.7 回答者： Interest 回答日時： 2006/08/08 00:15

ANo.3 = 6 = Interestです。

ちょっと計算に時間がかかってしまいましたが、私なりに式を展開してみました。結論から言うと、「（２）のほうが早くなる。」です。

ANo.4 ojisan7さんの回答では、
> （２）のコースの場合、水平方向にa/2進み、
> 次にhだけ垂直に落下し、次にbだけ水平に進み、
> 次にhだけ垂直に上昇し、次にa/2だけ水平に進むものとします。
と書かれていますが、これでは上り坂、下り坂の区間で等加速度運動をして速度が連続的に変化していることが考慮されていません。私の回答では上り坂、下り坂での等加速度運動を考慮したため、結果が異なります。

せっかくですので記号の使い方は踏襲させてもらいます。
（２）において
　区間 a1 （下り坂）では水平方向に距離 a/2 進みつつ垂直方向に距離 h だけ動き、
　区間 b では水平方向に距離 b 進み、
　区間 a2 （上り坂）では水平方向に距離 a/2 進みつつ垂直方向に距離 h だけ動く
ものとします。

●まず、区間b の時間 tb を求めます。

区間 b ではすでにボールが下り坂から下り降りているため、初速度V0より速度が大きくなっています。この増分をΔＶとすると、力学的エネルギ保存則より、
　mgh = m(ΔＶ）^2 / 2
　ΔＶ = √（2gh)
であることがわかります。区間 b におけるボールの速度は V0 + ΔＶですから、区間 b を通過するのに要する時間 tb は、
　tb = b / (V0 + ΔＶ）= b / (V0 + √（2gh))
です。

●次に、区間 a1 の時間 ta1 を求めます。

区間 a1 における速度変化は、V0 から V + ΔＶで、重力により等加速度で速度が増大しています。高校１年生の場合は物理で積分を使いませんからグラフを使うと判りやすくなります。

横軸に時間（0～ta1）、縦軸に速度(0～V0+ΔV)をとり、時刻t=0における速度V0から時刻t=ta1における速度V0+ΔVまで線を引きます。これが速度変化のグラフです。t=0～ta1までに移動した距離はグラフの線より下の台形の面積です。そして、この距離は区間 a1 の長さなので、a/2 です。これを式に表すと、

　a/2 = (V0 + ΔV/2) * ta1
となります。これを ta1 について解くと、
　ta1 = a / {2V0 + √（2gh)}
となります。

● ta1, tb, ta2 から （２）の時間 t2 を求めます。

ta1 = ta2 ですから、
　t2 = 2*ta1 + tb
です。途中計算を省略して、
　t2 = （分子）／（分母）
と書くと
　（分子）＝ 2V0 (a+b) + {√（2gh)} (2a+b)
　（分母）＝ 2V0^2 + 3V0√（2gh) + 2gh
となります。

● t1 - t2 が常に正となることを証明します。

t1 = (a+b)/V0 から t2 を引きます。これも途中の計算を省略しますが、分母を共通化して、分母が常に正なので、分子の正負で判断します。そうして結論として t1 - t2 >= 0 が得られました。

ためしに a = 0とするとh=0も同時に前提条件となり、t1-t2=0となります。（a>0, h=0やa=0, h>0は物理的に作れない条件ですね。）

私の結果はこうなりましたが、納得のいかないところ、ありますか？