振り子について

糸の先におもりをつけた振り子に対して、糸がたるまないためのφ＝0でのφの変化率ωの範囲を求めたいのですが、高校の知識なら解けるのですが、大学の微分方程式を用いて解くにはどうすればよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： masuda_takao 回答日時： 2006/09/03 05:17

　問題にしている状況がよく分からないので、確認させて下さい。

・φは角度を表す変数だと思いますが、φ＝ 0 をどの位置で定義していますか？　恐らく糸が鉛直になったときだろうとは思いますが...。
・求めたいのは、「糸がたるまないための、振り子に与える角速度の初期値ω(＝ [dφ/dt]_{t＝0}) の範囲」であるということで良いでしょうか？
・「微分方程式を用いて解く」とは、運動方程式を記述するのに微分を用いて、且つ途中の計算でも微分や積分の演算を積極的に用いて本問を解くと言うことで良いでしょうか？

　なお、運動方程式を微分を用いて記述しても、本問解決の方針としては、微分を本格的に使わないもの（質問者さんが「高校の知識」と仰るもの）と本質的に同じことになると思います。
　運動エネルギーが０になったときに、糸の張力が０にならなければ良いわけですから。

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2006/09/04 10:21

＃２です。

２つの場合があります。

１．おもりが円の中心より低い位置までしか上がらないとき。この時はたるみは起こりません。解き方は＃１の解答にあるとおりです。

２．おもりが中心と同じ高さより高いところまで上がったとします。円周の最上端を通過できないような条件ではかならずたるんでしまいます。糸がたるんだ後は斜めに投げ上げた場合の放物運動に変わりますから運動エネルギー＞０です。運動エネルギー＝０となることはありません。
接触条件は張力＞＝０のみです。

たるまないための条件と円周の最上端を通過するための条件は同じだということになります。

ωの条件としては１と２を合わせたものになりますが＃２では２についてだけ補足したことになります。
結果はω＜○○　ｏｒ　ω＞□□　となりますね。

たるまない条件を求めるだけであれば微分方程式は関係がありません。でも振り子の位置を時間で表すとなると加速度が一定でない運動の運動方程式を解かなくてはいけませんから微分方程式が出て来るでしょう。

No.3 回答者： masuda_takao 回答日時： 2006/09/03 23:07

　失敬。

　「振り子」とあるので、てっきり円を１周する場合は考えないのかと思いましたｗ
　以下のように修正すれば、少しはマシになるかな？

【旧】
運動エネルギーが０になったときに、糸の張力が０にならなければ良い

【新】
最高到達点（円周のてっぺんとは限らない）において、運動エネルギーが非負且つ、糸の張力が非負なら良い

　尤も、上記のことは、僕の書き込みをヒントにして、質問者さん自身に気付いてもらえればってのはありましたけどね。
#注意事項のことを思うと、勇み足だったかな？とも思うけど

No.2 回答者： ht1914 回答日時： 2006/09/03 09:57

はじめ何のことをいっているのかが分かりませんでした。

＃１の解答を読んでいて推測できるようになりました。

振り子に最下点である初速度を与えて鉛直面内で円運動をさせよという問題なんですね。（違っていたらごめんなさい！）

最高点で張力＞＝０という条件で解けばいいわけですから高校のやり方で充分です。

＃１の方の解答にある「運動エネルギー＝０の時の」というのは間違っています。

円筒の内面を運動して最高点に行くときの条件というのはこのカテゴリの過去の質問にもありますのでみて下さい。同じです。