No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)については329/6で正しいと思います。
解き方ですが、サイコロの目をX_1~X_nとするとS_2 = (X_1+X_2)^2になります。
展開するとX_1^2+X_2^2+2*X_1*X_2となります。
E(X_1^2) = E(X_2^2) = 1/6*(1^2+2^2+…+6^2) = 91/6
E(2*X_1*X_2) = 2E(X_1*X_2)=2E(X_1)E(X_2)=2*7/2*7/2=49/2
以上からE_2 = E(S_2) = 91/6+91/6+49/2=329/6となります。
(2)についてもこれを拡張すればできると思います。
S_n=(X_1+X_2+…+X_n)^2なので、展開すれば
S_n=X_1^2+X_2^2+…+X_n^2+2*X_1*X_2+2*X_1*X_3+…+2*X_(n-1)*X_n となります。
あとはE(X_1^2)=E(X_2^2)=… とE(X_1*X_2)=E(X_1*X_3)=… を使えば計算できると思います。
(3)は(2)を解くと簡単に計算できるようです。
No.3
- 回答日時:
#2のものです。
ヤマといっておきながら、自分で計算ミスっていました^^;ごめんなさい。#1の方と計算が合わないんで焦っていました。。。
正しいE_nの答えは
E_n = n*(49n/4 + 35/12)
です。
混乱させて申し訳なかったです。
No.2
- 回答日時:
はじめまして。
なかなかおもしろい問題ですね。(1)はあなたが解いたように地道にやってもできるので、(2)から考えていきましょう。
n回目に出た目の数をA_nとしましょう。すると、S_nは
S_n = (A_1 + … + A_n)^2
となります。また、1回目にA_1の目を、2回目にA_2の目を、・・・、n回目にA_nの目を出すような確率を
P(A_1,…,A_n)
としましょう。このときE_nは
E_n = Σ_(A_1)…Σ_(A_n) S_n*P(A_1,…,A_n)
となりますね。ここで、Σ_(A_n)はA_nについての和を表します。
ここで、この問題の面白いところはP(A_1,…,A_n)が瞬時に分かってしまうことです。つまり・・・
P(A_1,…,A_n) = (1/6)^n
ですね。したがって、表向きは確率の問題なのですが、数列の問題に帰着してしまいます。つまりE_nは
E_n = (1/6)^n * Σ_(A_1)…Σ_(A_n) (A_1 + … + A_n)^2
となります。あとはこの和の部分を計算するだけです!。。。しかしこの和の計算がきっとこの問題のヤマでしょう。
とりあえず、ヒントということで、ここまでにしておきますね。
E_nの答えだけは書いておきます;
E_n = (n^2 * 2^(n-2) * 3^n * 7^2)/6^n
です。(2)が分かれば、(3)なんてあっという間です!
がんばってください。
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