サイコロに関する期待値と分散の値を求める方法を教えてください

Question

「サイコロを６回投げたとき、出た目の和をＸとする。期待値Ｅ（Ｘ）と分散Ｖ（Ｘ）を求めよ。」
期待値Ｅ（Ｘ）＝２１になると思います。Ｅ（Ｘ）²はわかりますが、Ｅ（Ｘ²）がどうしても出来ません。どうぞ知恵をお貸しください。

kamiyasiro · Accepted Answer

そうですね。

私の回答#3のリンク先に、なぜ、分散がｎ回倍になるかの解説があります。
ご確認くださいませ。

再掲しておきます。
http://www.ec.kansai-u.ac.jp/user/amatsuo/pdfsta …

qas2021 · Answer

サイコロを1回投げたときの分散を6倍にする方法も忘れないであげてください。

kamiyasiro · Answer

#6です。

お礼、ありがとうございました。

私はRという統計ソフトでやりました。
和がある値を取るときの場合の数の計算方法を思いつかなかったので、力づくでやりました。
つまり、出現ケースを全て作って和を計算し、度数表に作り変えました。

ご参考までにRのプログラムを載せておきます。

# サイコロを6回振った時の出目の期待値と分散

x <- c(1:6)
y <- expand.grid(x, x, x, x, x, x) # 6個の目の総当たり表を作る
z <- apply(y, 1, sum) # 行ごとの和を取る

mean(z)
var(z) * (length(z) - 1) / length(z) # var(z)は不偏分散であることに注意

vari <- data.frame(table(z)) # 度数分布を求める
vari$z <- c(6:36) # zがカテゴリ扱いされているため数値で上書き
vari$z.sq <- vari$z^2
vari$dens <- vari$Freq / sum(vari$Freq) # 出現確率を求める

sum(vari$z * vari$dens) # 1乗の平均
sum(vari$z.sq * vari$dens) # 2乗の平均
sum(vari$z.sq * vari$dens) - sum(vari$z * vari$dens)^2 # 分散

kamiyasiro · Answer

たびたびすみません。

正確な値は17.5でした。

私は不偏分散を求めていました。それは間違いでした。訂正します。

kamiyasiro · Answer

式を間違えていましたね。すみません。

E(X)＝Σ(z×dens)＝21
E(X^2)＝Σ(z.sq×dens)＝458.5

↑これが正しいです。

あと、ちなみにもう少し正確なV(X)の値は、17.50038 です。

kamiyasiro · Answer

#3です。

参照サイト、平均について書いているかと思ったら、最初は和について書いていましたね。うっかりでした。すみません。

是非、ご検討くださいね。

ちなみにE(x^2)の計算値は、458.5です。計算のための表は添付のとおりです。単純な２乗値に確率を掛けて和を取ります。なんか違うこと書いている人がいますが、勘違いだと思います。

E(X)＝Σ(z×Freq)＝21
E(X^2)＝Σ(z^2×Freq)＝458.5

V(X)＝458.5－21^2＝17.5

この値は、１回振ったときの出目の分散の6倍になっています。参考サイトのとおりです。

z Freq z.sq　　　　　 dens
1　 6　　1　 36　2.143347e-05
2　 7　　6　 49　1.286008e-04
3　 8　 21　 64　4.501029e-04
4　 9　 56　 81　1.200274e-03
5　10　126　100　2.700617e-03
6　11　252　121　5.401235e-03
7　12　456　144　9.773663e-03
8　13　756　169　1.620370e-02
9　14 1161　196　2.488426e-02
10 15 1666　225　3.570816e-02
11 16 2247　256　4.816101e-02
12 17 2856　289　6.121399e-02
13 18 3431　324　7.353824e-02
14 19 3906　361　8.371914e-02
15 20 4221　400　9.047068e-02
16 21 4332　441　9.284979e-02
17 22 4221　484　9.047068e-02
18 23 3906　529　8.371914e-02
19 24 3431　576　7.353824e-02
20 25 2856　625　6.121399e-02
21 26 2247　676　4.816101e-02
22 27 1666　729　3.570816e-02
23 28 1161　784　2.488426e-02
24 29　756　841　1.620370e-02
25 30　456　900　9.773663e-03
26 31　252　961　5.401235e-03
27 32　126 1024　2.700617e-03
28 33　 56 1089　1.200274e-03
29 34　 21 1156　4.501029e-04
30 35　　6 1225　1.286008e-04
31 36　　1 1296　2.143347e-05

kamiyasiro · Answer

これって、エクセルとか、プログラム書いてやれって問題ですか？

出た目の和は、6～36になりますが、その出現度数って実際にやってみましたか？

z Freq
1　 6　　1
2　 7　　6
3　 8　 21
4　 9　 56
5　10　126
6　11　252
7　12　456
8　13　756
9　14 1161
10 15 1666
11 16 2247
12 17 2856
13 18 3431
14 19 3906
15 20 4221
16 21 4332
17 22 4221
18 23 3906
19 24 3431
20 25 2856
21 26 2247
22 27 1666
23 28 1161
24 29　756
25 30　456
26 31　252
27 32　126
28 33　 56
29 34　 21
30 35　　6
31 36　　1

このように、相当大変になります。ですから、V(x)＝E(x^2)－E(x)^2　の分散の公式は使わないのでは？

どう計算するかは、こちらのサイトをご参照下さい。

http://www.ec.kansai-u.ac.jp/user/amatsuo/pdfstatecon/Sum3dices.pdf

↑こちらのサイトでは、出た目の平均について書いていますので、そこは少し頭をひねって下さいね。

銀鱗 · Answer

「E(Χ²)：二乗期待値」の意味が分からないという事でしょうか。
調べてください。
（説明が面倒なんで、解説しているサイトを見たほうが早い）
なお、単純に二乗するなんてことは無いからね。
これは数式ではなくカイ(χ)二乗を意味する表記です。
つまずく人の多くはこれを勘違いするんだなあ。

とりあえず結論。
　"E(Χ²)：二乗の期待値" と "(E(Χ))²：期待値の二乗" の差が【分散】　
なんです。

Tacosan · Answer

X のとりうる値とそれぞれの確率がわかれば E(X^2) も計算できるでしょ?

サイコロに関する期待値と分散の値を求める方法を教えてください

そうですね。

サイコロを1回投げたときの分散を6倍にする方法も忘れないであげてください。

#6です。

たびたびすみません。

式を間違えていましたね。

#3です。

これって、エクセルとか、プログラム書いてやれって問題ですか？

「E(Χ²)：二乗期待値」の意味が分からないという事でしょうか。

X のとりうる値とそれぞれの確率がわかれば E(X^2) も計算できるでしょ?

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