条件付き確率の期待値と分散についてですが、 Webで導出を調べても結果のみしかなく、 どのように求め

条件付き確率の期待値と分散についてですが、
Webで導出を調べても結果のみしかなく、
どのように求めるのかがわからないのですが、

これらは丸暗記するしかないのでしょうか？
オススメのサイトや説明があれば教えて頂きたいです！

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/07 23:53

#2です。

条件付き分散の導出の別解を考えました。

条件付き期待値を「回帰線上の点である」として解いているので、同様に、条件付き分散は「回帰残差」の変動をｎで割ったものとして求めれば良いと気づきました。
回帰残差はｘの影響を取り除いた「残り物」だからです。
「定義通り」解けばいいんじゃない、と言われたら、こっちですね。

つまり、条件付き期待値も、条件付き分散も、回帰が分かっていれば暗記していなくても導出可能ということです。

下記のようになります。（あー、すっきりした）

なお、「ブロック対角化で出てくるもの」も回帰残差変動ということですから、ブロック対角化でも良いことになります（ブロック対角化の方が美しくて、私は好きです）。

途中、β＝Sxy/Sxx に置き換え、分母分子にSyyを掛けるということをやっています。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/05 22:52

ｘを固定すると、共分散が消えるんだから、#1さんがおっしゃるところの定義どおりだと思うんですが・・・。

ちょっと、自信無くなりました。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/05 22:38

#2です。

スミマセン、条件付き分散の導出の式で、最後の（）を除いて、全ての（）の前に、1/nを付けるのを忘れていました。

(分散)＝σ^2＝Sxx／ｎ だから、ｎで割っておかねばなりません。最後に消えます。

お恥ずかしい。

ところで、ネットで調べてみたら、導出過程はたくさん見つかりましたよ。

でも、ブロック対角化でやっているのは見かけなかったので、邪道だったかなぁ。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/05 16:18

我流ですが、導出しました。

ご参考まで。

【期待値】
期待値は回帰線上にあるので、

E(Y|X＝x)＝μy＋β(xーμx）

β＝Sxy／Sxx だが、相関係数ρを用いた式にするため、Sxyを消したい。

そこで、ρ＝Sxy／(√Sxx√Syy)より、
Sxy＝ρ(√Sxx√Syy)

これを代入して、

β＝ρ√Syy／√Sxx

と変形し、さらに、

σx＝√(Sxx／n)
σy＝√(Syy／n)

だから、

β＝ρσy／σx

よって、

E(Y|X＝x)＝μy＋ρσy(xーμx）／σx

yの条件付き分散に関しては、分散共分散行列の共分散をＯにするようブロック対角化すれば出てきます。
添付のブロック対角化の式に、分散、共分散を当てはめて変形すれば、条件付き分散が出ます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/05 10:33

定義に従って計算すりゃいいんじゃね?

この回答へのお礼

そうですよね笑
導出過程を見て理解しようと
楽しようとしちゃいました。。。

定義に従って計算してみます！！

お礼日時：2023/02/05 10:45