No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1)ヴェクトルtを、(x,y,z) で表します。
まず、tは、原点Oから延びるヴェクトルです。そして、x軸と直交ということは、tは、yz平面にあるということになります。従って x=0。
z軸の正の向きに単位ヴェクトル (0,0,1) を考えます。
すると、z軸の正の向きと成す角度が45度ということは、内積で考えて:
(x,y,z)/*/(0,0,1)=z=1*1*cos(45)=cos(45)=(√2)/2
tは単位ヴェクトルですから、その長さの絶対値は、1で、
成分で表示すると、x^2+y^2+z^2=1 です。
x=0, z=(√2)/2 を代入すると:
0+y^2+1/2=1 → y^2=1/2 → y=+/-(√2)/2
ここで、y>0 という条件から、y の+の方がその値で:
→ t=(0,(√2)/2),(√2)/2)
2)T=OTで、OT上に点Pを取って、ヴェクトルOPを考えるということは、ヴェクトルOP=k(0,(√2)/2),(√2)/2) ここで、k は1未満のある数です。無論、0ではないです。
そこで、OP⊥AP とは、OP と AP の内積がゼロになるということで、AP は、AからPに延ばしたヴェクトルであるということは、AP=P-A
(注:この順序は重要です。AからPの場合、P-Aで、逆にPからAの場合、A-Pとなります)。
AP=P-A=k(0,(√2)/2),(√2)/2))-(1,2,3)=(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)
OP/*/AP=(0,(k√2)/2),(k√2)/2)/*/(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)=0
= k^2(1/2)-k√2+k^2(1/2)-3k(√2)/2)=0
= k^2-(5√2/2)k=0
= k(k-5√2/2)=0
k=0 ではないので、k=5√2/2
よって、
OP=(5√2/2)*(0,(√2)/2),(√2)/2)
=(0,5/2,5/2)
内積を示すため、記号として、/*/ を使いました。ここでの臨時の記号です。
No.2
- 回答日時:
t=(a,b,c)とします。
tは単位ベクトルですから、|t|=1であり、|t|=√(a^2+b^2+c^2)=1です。
(1)
x軸を表す単位ベクトルはx=(1,0,0)であり、これと直交するから、
x・t=|x||t|cos90°=0である。
x・t=a+0+0=a=0だから、まず、t=(0,b,c)となります。
次にz軸と成す角が45°であるから、Z=0,0,1)として、
z・t=|z||t|cos45°=√2/2(zとtは単位ベクトルだから)
z・t=cだから、c=√2/2である。よって、t=(0,b,√2/2)。
さらに、tが単位ベクトルだから、
0^2+b^2+(√2/2)^2=1で、b>0より、b=√2/2。
よって、t=(0,√2/2,√2/2)。(答え)
(2)
ベクトルOPは、ベクトルtのk倍となるから、
OP=k(0,√2/2,√2/2)。
AP=OP-OA=(-1,k√2/2-2,k√2/2-3)とあらわせる。
OP・AP=0(直交するから)だから、
-1*0+(k√2/2-2)*k√2/2+(k√2/2-3)*k√2/2=0
これを変形して、
k(k-5√2/2)=0となる。
OPはゼロベクトルではないから、k=5√2/2。
よって、
OP=5√2/2(0,√2/2,√2/2)
=(0,5/2,5/2)と求まる。(答え)
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