傾いた楕円の方程式から中心と長軸短軸を出す

今、
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
という式から、

中心　x0, y0
長軸、短軸　a b
傾き　θ

を求めたいのですが、どうすればよいでしょうか？
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは定数です

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/09 00:53

粛々と、二次曲線の標準化を作業する。

方程式の 2 次項だけに注目して、まず、
二次形式を標準化しよう。
最初に、行列
. A B
. B C
を対角化する。
実対称行列を対角化する変換行列は、直交行列。
その列ベクトルは直交しているから、
両ベクトルが x軸 y軸と平行になるような
回転移動が存在する。
問題の式に、その回転移動を施すと、
xy項の無い二次式が現れる。

その式を x についてと y について、別々に
平方完成した後、両辺を定数項の値で割る。

すると、式は α(x-ξ)2乗+β(y-ψ)2乗=1 となる。
この方程式が楕円を表すのは、α, β が正の場合だけ。

楕円の中心は (ξ,ψ)、
長軸短軸の長さは 2/√α, 2/√β である。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/10/08 23:52

原点を中心に回転する.