数学的帰納法について

高校の時に数学を学習してもう10年たちますが、いまだに「数学的帰納法」を学習したときの感動を忘れることができません。最初は、なんかだまされたような感じを持ったのですが、よく考えてみるととてもスマートな証明法だと思いました。

そこで、質問なのですがこの証明方法は、大学でもっと高度な数学を学ぶときに使えるのかとふと思ったのです。

くだらない質問だと思いますが、よろしくお願いします。

ちなみに、私はあまり数学では良い成績をとることができませんでしたが、嫌いにはなりませんでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/10/28 11:17

>大学でもっと高度な数学を学ぶときに使えるのかとふと思ったのです。

使えるどころの話ではなく，あちこちで頻繁に使われます
帰納法と背理法がないと何もできません．
実際この二つは，異質な雰囲気全開ですからね．
＃数論だけじゃないですよ．全数学で使われます．

帰納法というのは，実は自然数の性質の根幹でして，
自然数というのは，ものすごく大雑把にいえば
「帰納法が使える集合」という定義です．
＃一応突っ込まれないように・・ペアノの公理のことをいってますが
＃サクセサとか細かいことは長くなるので省いてます．

帰納法には結構な数の変種があって，
数学基礎論とか数理論理学なんかでは
帰納法を使わないで何ができるかとか，
どの帰納法をどういう条件で使うと何が証明できるかとか，
といった帰納法を中心とした研究も盛んに行われているようです．

ということで，

>くだらない質問だと思いますが、よろしくお願いします。

ではなく，「帰納法はどこまで使えるのか」は
かなり本質的な問題，世界中でみんなでよってたかって
追求しているものだと思います．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

背理法ってありましたね。これまただまされているんじゃないかと思った証明法でしたね。

帰納法について現在でも研究が行われていることには驚きました。

ありがとうございます。

お礼日時：2006/10/30 09:49

No.3 回答者： aiueo95240 回答日時： 2006/10/30 06:11

僕の感じも似たようなものです。

背理法は排中律を認めたうえでのことで、これもつきつめるとだまされた感じがしますが、これを疑うとしんどい。

数学的帰納法は、それでしか解けないものもあるが、たとえば、
1+nh<(1+h)^n
などは、数学的帰納法でも、演繹法（式変形）でも解けます。

数学的帰納法は、なんとなく本質を抜かして、機械的に証明するような方法で、だまされたようなかんじがしてしまいますね。不思議です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

背理法も数学的帰納法もスマートすぎる証明法だからだまされたような感じがするんでしょうかね。

お礼日時：2006/10/30 09:51

No.1 回答者： sonetea 回答日時： 2006/10/28 07:46

確かに数学的帰納法の発想は素敵ですよね。

「数論」なんかの分野では使われていると思います。
もちろん数学的帰納法を適用するだけで解決…などということは少ないかもしれませんが

この回答へのお礼

ありがとうございます。

やっぱり使われているのですね。

お礼日時：2006/10/30 09:46