積分定数について

高校の不定積分の積分定数の扱いについて、ふとした疑問が…

∫(x-1)^2dx = 1/3 (x-1)^3 + C = 1/3 x^3 -x^2 + x + C

と答案に書くのは（厳密に言うと）おかしいのではないのでしょうか？
つまり、(x-1)^3　は展開すると　-1　という定数項が生じますよね。それをまとめて最終的に　C　という積分定数でひとまとめにしてしまうと、２番目の式と３番目の式とで、同じCでも値は違う…という事になるような気がしますが、気にしなくていいのですか？　積分定数Cの値は自在に変化するものとして無視していいのですか？　それとも、例えば３番目の式の積分定数はCからBに変えて、最後に *B,Cは積分定数　とでも書いておけばいいのでしょうか？　あくまで展開した形で答えを書きたい場合ですが…高校数学レベルの質問としてお答え下さい。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： killer_7 回答日時： 2007/01/25 12:51

#1さんの意見とは違うのですが，僕なら

∫(x-1)^2dx
= 1/3 (x-1)^3 + C　（C：積分定数）
= x^3/3 -x^2 + x + C'　（C'=C-1/3）
などとします．
普段の計算では（どうせ任意の定数なので）適当にやりますが，
答案に
「1/3 (x-1)^3 + C = x^3/3 -x^2 + x + C」
という恒等式として間違った表現を書くのは避けます．

多くの教科書を見たわけではありませんが，
他の定数項を吸収したり，定数倍・定数乗などの操作をしたにもかかわらず
同じ記号で通しているものはあまり見たことがありません．

注釈（上で言うと，C'=C-1/3など）はなくとも，
記号だけは変えておくべきではないでしょうか．

この回答へのお礼

なるほど「恒等式として間違った表現は避ける」という部分はとても勉強になりました。他の皆さんの意見ももっと聞いてみたいので、引き続き回答受付状態にしておきます。アドバイス有難うございます。

お礼日時：2007/01/25 14:43

No.3 回答者： larme001 回答日時： 2007/01/25 23:45

積分定数というのはあくまで任意定数なので、不定積分をただ解いたときならメンドクサイのでＣで統一してもかまわないでしょう。

よくＣ’、C''、、とやったりするのはありますが、個人的にはあまり新しい記号を増やしたくないというのもあります。

ただ、微分方程式をとくような問題が元となっている出題で｛f(x)=∫f(x)(x-t)dt...でf(x)を解くような種のもの｝、積分定数を同じもので書くとまちがえるので、不定積分でも問題の趣旨によってはきちんとある定数として区別したほうがいいと思います。

といっても、高校数学ならそこまで細かい点で減点されることはないでしょうから、模試や学校テストで減点されたのでなければ別に気にしないで、自分のやりやすいほうでいいでしょう。高校レベルでの回答であれば、「あまり細かいことは気にしないで、その分問題を解こう」ですかね。

この回答へのお礼

「記号を増やしたくない」という発想や、「より高度な数学を扱う場合にはきちんと区別した方がいい」などとても参考になりました。有難うございます。

お礼日時：2007/01/26 02:29

No.1 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/24 23:27

Ｃは、不定積分をした結果生じる定数項の不定値を表す時によく用います。

だから、どのような形で積分をしたとしても、定数項の部分に生じる不定値はＣで統一した方が無難であると思います。

この回答へのお礼

「定数項の不定値」という定義（表現）はヒントになりました。有難うございます。

お礼日時：2007/01/25 14:41