行列の固有値に関する問題

次の問題の解き方かヒントお願いします。
Ｑ１．固有値の和はＡのトレースに等しい。つまり、
　　　　　TrA=Σ（1<=i<=n)aii=λ１＋λ２＋…＋λｎ

Ｑ２．ｎ次の正方行列Ａの特性根をλ１、λ２、…、λｎとすると｜Ａ｜＝λ１λ２…λｎ

Ｑ３．Ａが正則行列ならtAAは正定値対称の行列である。

Ｑ４．Ａが正定値行列、Ｐが正則行列ならｔＰＡＰも正定値行列である。

No.1 ベストアンサー 回答者： yohsamkai 回答日時： 2002/05/29 18:02

ＰをＡの右固有値ベクトルからなる行列、Ｑを左固有値ベクトルからなる行列とします。

Λを対角要素iiがλｉ、その他が０の対角行列とします。ＱＰ＝Ｉ（単位行列）ですから、
Ｑ１． ＴｒＡ＝ＴｒＡＱＰ＝ＴｒＱＡＰ＝ＴｒΛ
＝λ１＋・・・＋λｎ
Ｑ２．｜Ｑ｜＝｜Ｐ｜＝１ですから、
｜Ａ｜＝｜Ｑ｜・｜Ａ｜・｜Ｐ｜
＝｜Ｑ・Ａ・Ｐ｜
＝｜Λ｜
＝λ１・・・λｎ
Ｑ３．任意のゼロでないベクトルｘに対して、Ａは正則なので、Ａｘはゼロではない。よって、
ｔｘｔＡＡｘ＝ｔ（Ａｘ）（Ａｘ）＞０
明らかにｔ（ｔＡＡ）＝ｔＡ（ｔｔＡ）＝ｔＡＡ
Ｑ４．任意のゼロでないベクトルｘに対して、
ｙ＝Ｐｘとする。その時、明らかにｙはゼロではなく
ｔｘｔＰＡＰｘ＝ｔｙＡｙ＞０
よってｔＰＡＰも正定値である。

この回答への補足

TrAQP=TrQAPのところはどのように変形しているのですか？
Traceに関して教科書などに述べられていないので、いくつか簡単な公式があったらお願いします。

補足日時：2002/05/30 23:05

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2002/05/31 21:44

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2002/06/01 15:51

線形代数は

「有限次元線形空間」から始まって「ジョルダンの標準形」で終わるのです
「ジョルダンの標準形」は線形代数の最後の関門なのです
「ジョルダンの標準形」は幾つかの証明方法が有りますが難解なので
一度は理解して後は忘れてもいいから
「任意のｎ次正方行列は適当なｎ次正方正則行列によってジョルダン標準形化され
前記ｎ次正方行列が実行列であって前記前記ｎ次正方行列の固有値がすべて実数ならば
前記ｎ次正方正則行列を実行列とすることができる」
という事実を覚えておいて
実際に標準化できるようにしておけばいいでしょう

ジョルダンの標準形はジョルダン細胞（正方行列）
［λ　１　０　０　０　・・・・・・　０］
［０　λ　１　０　０　０・・・・・　０］
［０　０　λ　１　０　０　０　・・・・　０］
［０　０　０　λ　１　０　０　０　・・・　０］
［　・・・・・・・・・・・・　］
［　・・・・・・・・・・・・　］
［　・・・・・・・・・　０　λ　１］
［０　０　０　０　０　・・・・・　０　λ］
（でこぼこでなく正方形である）
がすべての固有値λについて対角線上に並び
対角に並んだジョルダン細胞以外はすべて０行列である行列です
同じものが複数並ぶときも有り１ｘ１のジョルダン細胞は実数λである

易しい本にはジョルダンの標準形を省いているものが有りますが
だいたいの本には載っています

応用分野によっては
「正規行列はユニタリ行列によって対角化される」
のところまででｏｋの場合もありまが
「制御理論」をマスターしたければジョルダンまでやっておいた方がいいでしょう

この回答への補足

nubouさんいつもお世話になっています。No.#1の右固有値ベクトル、左固有値ベクトルというのって何なのかご存知ですか？知っていましたら補足回答よろしくお願いします。

補足日時：2002/06/13 22:44

この回答へのお礼

補足回答ありがとうございました。ジョルダンは線形代数の最後の関門なんですね。

お礼日時：2002/06/01 21:50

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2002/06/01 12:39

Ｑ１：

Ｐ＝［ｐｉｊ］，Ｑ＝［ｑｉｊ］をそれぞれ任意のｎ次正方行列とすると
ｔｒ（Ｐ・Ｑ）＝
Σ（１≦ｉ≦ｎ）・Σ（１≦ｊ≦ｎ）・ｐｉｊ・ｑｊｉ＝
Σ（１≦ｊ≦ｎ）・Σ（１≦ｉ≦ｎ）・ｑｊｉ・ｐｉｊ＝
ｔｒ（Ｑ・Ｐ）

従って
ｔｒ（Ａ）＝
ｔｒ（Ｉ・Ａ）＝
ｔｒ（（Ｕ・Ｕ＾（－１））・Ａ）＝
ｔｒ（Ｕ・（Ｕ＾（－１）・Ａ））＝
ｔｒ（（Ｕ＾（－１）・Ａ）・Ｕ）＝
ｔｒ（Ｕ＾（－１）・Ａ・Ｕ）＝

Ｕ＾（－１）・Ａ・Ｕは３角行列であって対角線にＡの固有値が並ぶ

「任意のｎ次正方行列は適当なｎ次正方正則行列によってジョルダン標準形化される」
を使っても良い
この定理は悪名高い（有名な）ので忘れる心配がないからである
（ジョルダン標準形は３角である）

この回答への補足

ジョルダン標準形化って初めて聞いたんですが何のことですか？

補足日時：2002/06/01 14:41

この回答へのお礼

さらに細かい説明ありがとうございます。一つ教えて頂きたい事があったので補足に書いておきます。

お礼日時：2002/06/01 14:44

No.3 回答者： yohsamkai 回答日時： 2002/05/31 12:14

補足質問にお答えします。

一般にnxnの正方行列Ａ，Ｂがあるとき
ＴｒＡ・Ｂ＝ＴｒＢ・Ａ
です。（トレースの定義に戻って計算すれば証明は簡単です）
したがって、
ＴｒＡＰＱ＝ＴｒＱＡＰになります。

この回答への補足

No.#1で右固有値ベクトル、左固有値ベクトルという初めて聞く言葉が出てきましたが、これはAの固有ベクトルとどのように違うものなのですか？いったいどんなものなのですか？補足回答よろしくお願いします。

補足日時：2002/05/31 21:57

この回答へのお礼

補足質問にお答え頂きありがとうございました。一つ分からない事があったので、補足に書いておきます。何度もすいません。よろしくお願いしますm(__)m

お礼日時：2002/05/31 21:51

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2002/05/29 18:23

Ｑ１＆Ｑ２：

適当なユニタリ行列ＵによってＵ＾（－１）・Ａ・Ｕを三角行列にすることができる
Ｕ＾（－１）・Ａ・ＵとＡの固有値のセットは同じである

Ｑ３：
（Ａ＾＊・Ａ）＾＊＝Ａ＾＊・ＡだからＡ＾＊・Ａは正値エルミート
ｘを０でない任意のｎ次列ベクトルとする
Ａが正則だからＡ・ｘ≠０
従って０＜（Ａ・ｘ）＾＊・（Ａ・ｘ）＝ｘ＾＊・（Ａ＾＊・Ａ）・ｘ

Ｑ４：
（Ｐ＾＊・Ａ・Ｐ）＾＊＝Ｐ＾＊・Ａ・ＰだからＰ＾＊・Ａ・Ｐは正値エルミート
ｘを０でない任意のｎ次列ベクトルとする
Ｐが正則だからＰ・ｘ≠０
Ａが正値エルミート行列だから
０＜（Ｐ・ｘ）＾＊・Ａ・（Ｐ・ｘ）＝ｘ＾＊・（Ｐ＾＊・Ａ・Ｐ）・ｘ

なおＭ＾＊はＭの複素共役転置

この回答へのお礼

複素数の範囲まで拡張してもこの問題は成立するんですね。一歩進んだ回答ありがとうございました。納得できましたp(^^)q

お礼日時：2002/05/31 21:47