証明問題

Ａ≒Ｃ（[0,1]）　Xо∈[0,1]
Iо≡｛F∈A：F（X1）＝０｝

このとき
１、IоはAの閉idealをなることを示せ
２、A/Iоは何か？

って問題なんですけど
よろしかったら
教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/05/30 00:16

tyabatakeさん。

こんにちは
少々記法に間違いがあるようですね。

＞Ａ≒Ｃ（[0,1]）　Xо∈[0,1]
Ｃ（[0,1]）というのは[0,1]上の連続関数全体（に通常の和と積で環の構造を入れ、かつ最大ノルムにより位相を入れた空間）のことでしょうが、A≒Ｃ（[0,1]）というのはＣ（[0,1]）をAと書く、という意味でしょうか。≒は近似値の意味なのでそういう風には解釈されませんよ
＞Iо≡｛F∈A：F（X1）＝０｝
X1とは何ですか。たぶん
Iо≡｛F∈A：F（Xо）＝０｝
の間違いだと思いますが。

問題の条件を次のように解釈して回答します。違っていたら補足して下さい。

Ｃ（[0,1]）は[0,1]上の連続関数全体から構成される位相環である。
ただし和と積は通常の関数の和と積で定義し、位相は最大ノルムにより定義されるものとする。
この位相環をAと書く。
また、Xо∈[0,1]とし、
Iо≡｛F∈A：F（Xо）＝０｝
と定義する。


１、IоはAの閉idealとなることを示せ

イデアルであることは簡単に示せます。
(1)F_1,F_2∈ Iо とすると F_1 ＋ F_2∈ Iоであること。
(2)任意のF ∈ Iоと任意の G∈A に対し FG∈ Iоであること。
の２つを示せば良いのです。どちらもIоの定義からほとんど明らかですね。

次にIоが閉（集合）であることを示します。
これは、Iоの任意の収束列がIоの点に収束することを示せばＯＫです。
{F_i}をIоの要素の列であって、ノルム収束するものとします。すなわちあるF∈A に対し
||F_i － F|| ＝ max |F_i － F|→０（i→∞)
となるようなものとします。
（念のため書き添えておくと、max |F_i － F|とはx∈[0,1]としたときの |F_i(x) － F(x)|のとり得る値の最大値のことです）
ここで
０≦|F（Xо）|＝|F_i(Xо）－ F(Xо）|＝ |(F_i － F)(Xо）|≦max |F_i － F|→０ （i→∞)
ですからF（Xо）＝０,すなわちF∈Iоであることがわかりました。
よってIоの収束列がIоの点に収束することが示されました。


２、A/Iоは何か？

A/IоとはAをIоで類別したものです。すなわち、F_1,F_2∈ A に対し、F_1 － F_2 ∈ Iо のときF_1とF_2はA/Iоの要素として同値とみなされます。
この条件を満たすのは明らかにF_1（Xо）＝F_2（Xо）のときだけですから、この類別は結局のところAの要素をXоにおける値だけで分類していることになります。
Aのとりえる値は実数ですから、A/Iоにおける"異なった"要素は、実数における"異なった"要素と１対１に対応しています。
さらに
F_1,F_2∈ Aの同値類を[F_1],[F_2]と書き,
[F_1]＋[F_2]＝[F_1＋ F_2]
[F_1][F_2]＝[F_1 F_2]
と定義するとこの定義はwell defined（整合的）になっています。すなわちA/Iоは環になります。
（この例に限らず一般的にある環をその（両側）イデアルで類別したものはやはり環になります）
そしてこの環は実数環Ｒと同型になります。A/IоとＲが環として同型であることを示すためには、A/IоからＲへの環同型写像が存在することを言う必要があります。そのような写像fとして
f([F])＝F(Xо)
と定義します。これが環同型写像であることを示すためには、

(1)fが全単射であること
(2)環準同型であること。すなわち任意の[F_1],[F_2]∈ A/Iоに対し
f([F_1]＋[F_2])＝f([F_1])＋f([F_2]) および
f([F_1][F_2])＝f([F_1])f([F_2]) を満たすこと

の２つを示せばＯＫです。これは簡単なのでtyabatakeさんご自身でやってみて下さい。
よって結論としては
A/Iоは実数環Ｒである
ということになります。

この回答へのお礼

間違いを訂正していただき、ありがとうございました。解説も丁寧でわかりやすかったです。

お礼日時：2002/05/31 08:50