リーマン面を求める

1．w=z^(1/2)+(z-1)^(1/2)

2.w=[{(z^2)-1}/w-a]^(1/2)　　ただしIm aは0でない


　
以上のリーマン面を求めたいのですが、まず先に1はニ価関数ですがそれが二つくっついていた場合どうしてよいのか全くわかりません。
w=z^(1/2)であれば求められるのですが、もう一方のw=(z-1)^(1/2)をどう処理したらいいのでしょう。
次に2ですがこれは単純なニ価関数かと思いましたがwが余計で先に進めません。辺々二乗して計算していくというのも釈然としないですし・・・・。

どなたか助けてくださいｗ

No.1 回答者： aiueo95240 回答日時： 2007/06/05 09:45

一つ目は、あえて図に描くと、

===x======x======
　　 ↑　　　　↑
　　　0　　 　1

二つ目は、まず２乗して、wについて、まとめてください。


　　

No.2 回答者： komaruyama 回答日時： 2007/06/05 14:16

まず、1.は2価函数ではありません。

4価函数です。

問題の主旨についてですが、「リーマン面を求める」というのはどういうことでしょうか？
z平面またはz球面を切り開いて貼り合わせるようなことをお望みでしょうか？

気づくのは、1.も2.も代数函数だということです。
したがって、代数函数体からリーマン面を構成することも可能です。
あるいは、単に種数を求めるということでしょうか？

ちなみに、1.の種数は0で、4枚のz球面に切り込みを入れて貼り合わせて、1枚のw球面にすることができます。
2.は両辺を2乗すれば楕円曲線であることが分かります。したがって、種数は1です。