お世話になります。
この問題は有意義だと思いますので、お時間のある方は考えていただけないでしょうか?
平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の接線が引けるでしょうか?
これは直感的にも明らかです。たとえば、放物線をy=ax^2(a>0)、点を(p,q)とすると、
q>ap^2のとき、0本
q=ap^2のとき、1本
q<ap^2のとき、2本
では、平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか?
これは直感では解けなくて、多くの計算がいりそうなのです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
放物線 y=ax^2 上の点(t,at^2)における法線は
y-at^2=(-1/2at)(x-t)
これが(p,q)を通るので 2a^2t^3-(2aq-1)t-p=0 となります。
f(t)=2a^2t^3-(2aq-1)t-p とすると
f’(t)=6a^2t^2-(2aq-1) であるから
(ア) 2aq-1≦0 のとき
f’(t)≧0 より、f(t)=0 を満たす実数tは1個
(イ) 2aq-1>0 のとき
f’(t)=0 の解をt=±αとすると α=√{(2aq-1)/(6a^2)}
f(t)=(1/3)t×f’(t)-(2/3){(2aq-1)t+p}より
f(α)×f(-α)=2{6(ap)^2-(2aq-1)^3}/(27a^2) であるから
(増減表をイメージして)
(イ-1) 6(ap)^2-(2aq-1)^3<0 のとき
f(t)=0を満たす実数tは3個
(イ-2) 6(ap)^2-(2aq-1)^3>0 のとき
f(t)=0をみたす実数tは1個
(イ-3) 6(ap)^2-(2aq-1)^3=0 のとき
f(t)=0を満たす実数tは2個 となると思います。
ていねいにありがとうございます。
いろいろ検索して、図的には
http://www2m.biglobe.ne.jp/~funatsu/advanced5/fn …
のように分けられると思いました。
No.1
- 回答日時:
接線の場合は、放物線上の接点を(t,at^2)とすると、tの2次方程式に帰着しますので、2次方程式の判別式から接線の本数の条件が求められます。
法線の場合は、tの3次方程式に帰着しますので、3次方程式の判別式から法線の本数の条件が求められます。
放物線と法線が交わる点を(t,at^2)としますと、この点を通る法線の方程式は次のようになります。
2at(y-at^2)=-(x-t)
ここで、この法線は点(p,q)を通るので、次の式を満足させなければなりません。
2at(q-at^2)=-(p-t)
この式を整理すると、次のtに関する3次方程式が得られます。
2a^2 t^3 + (1-2aq)t -p=0 ・・・・・☆
この式について、3次方程式の解の判別式を求めますと、
Δ=-4a^2{2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2 }
Δ2=54a^2 p
となります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/3%E6%AC%A1%E6%96%B9 …
このことから、法線の本数について次のことが言えます。
1)Δ<0 または Δ2=0 のとき: 法線は1本
⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2>0 または (p,q)=( 0,1/(2a) )
2)Δ=0 かつ Δ2≠0 のとき: 法線は2本
⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2=0 かつ p≠0
3)Δ>0 のとき: 法線は3本
⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2<0
また、法線が1本も引けないということがないということも分かります。
まことにありがとうございます。
ただ、判別式というのが分かりません。
Δは普通に、3つの解を用いて書くと、(α-β)^2*(β-γ)^2*(γ-α)^2の意味だと思います。
Δ2とはなんでしょうか?
Δ2 = 0 の時、三重根を持つ。そうでなければ二重根と(それとは異なる)実数解を 1 つ持つ。
と書いてあることから、|α-β|^2+|β-γ|^2+|γ-α|^2
かとも思いましたが、これはα、β、γの多項式ではないので違う気がします。
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