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例えばフラクタル図形の1つにコッホ曲線(Wikipediaより参照)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%83% …
というものがあります。
上記のページを見ていただければわかるように、1本の線分をどんどん変形させてできあがる曲線です。
Wikipedia の言葉を借りながら説明してみます。
始めの1本の線分の長さを a とすると、
1回変形させたとき(線分を3等分し、中央の線分を1辺とする正三角形を描き、下の辺を消す)
の長さのは 4/3 * a です。
同様に、2回変形させたときの長さは (4/3)^2 * a です。
ですから、n回変形させたときは長さは、(4/3)^n * a です。
(n - 1)回変形させたときからの長さの増分は、
(4/3)^n * a - (4/3)^(n - 1) * a = 1/3 * (4/3)^(n - 1) * a
ですよね?
(読みにくいですから、実際に紙に書いてみてください。)
無限回変形を繰り返すとコッホ曲線になるわけですから、コッホ曲線の長さを増分の和で表すと、
a + Σ(4/3)^(n - 1) * 1/3 * a
(Σは n = 1 から∞までの和)
となり、コッホ曲線の長さを等比級数の和で表せました。
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