訳あって確率統計の勉強をしておりますが、中心極限定理について質問があります。
「母集団の平均をm、分散をvとすると、そこから抽出したn個の標本の平均の分布は、平均m、分散v/nという分布になり、標本数をn→無限大とすると、分布は母集団の分布によらず正規分布に近づく。」
とありますが、母集団が有限個(N個)の集合ならどうなるでしょうか。
その場合、標本数をnがNに等しくなった時点で平均はm、分散0、つまり標本から母集団の平均が完全に推定(決定)することになります。
●有限母集団の場合も中心極限定理は成り立つのか?
●成り立つならn→Nで分散が0になるという点はどう表現されるのか?
このあたりを教えてください。
A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
標本数をnがNに等しくなった時点で分散0になりません
例えば母集団が{0,1}の場合、標本数を2個にすると
0,0になる確率は1/4
0,1になる確率は1/2
1,1になる確率は1/4
となり、平均は0.5、分散は0.125となります。
標本を取り出すという事象は、独立な事象を仮定しているのであって、
標本を取り出したからといって、母集団が変化するわけではありません。
この回答への補足
回答ありがとうございます
しかし、釈然としません。こちらの抱いているイメージが間違っているのでしょうか。
有限個の母集団からサンプルというのは、例えば全日本人の身長のようなもの(つまり1億2000万個の数字の集合)から、適当に選びだす、、というイメージです。
つまり、回答にありました{0,1}という母集団であれば、壷の中に2個のボールがあり、それぞれに0と1と書かれている。そこから2個取り出せば、間違いなく0と1なのでその平均は0.5.何回試行したところで常に平均は0.5.つまり平均0(これは母集団の平均に一致)で分散は0.ということです。
「標本を取り出すという事象は、独立な事象を仮定している」というあたりを私は理解していないのでしょうか。
No.1
- 回答日時:
Wikiの説明を借りれば、
以上のような具体的な母集団は有限であるが、数学的な便宜上、無限大の要素からなる母集団を仮定する方法をとる事がほとんどである。ある分布を仮定した母集団から有限のn個からなる標本(大きさまたはサイズnの標本という)を取り出すものとし、これから逆に確率論的に母集団を推定する訳である。
となります。
中心極限定理の記述の仕方にもよりますが、
簡単な表現でいえば、独立な独立事象の列または、独立確率変数列 X1,X2,X3....
として、
Sn=X1+X2+...Xn
から、
Tn={Sn-E(Sn)}/sqrt(V(Sn))
が正規分布N(0,1)に近づく
というような表現ではないでしょうか。
母集団が有限だと、独立確率変数列がなりたたなくなりませんか。
有限母集団の場合も中心極限定理は成り立つのか?
→ 成り立ちません。
では。
この回答への補足
早速の回答をありがとうございました。
しかし成り立ちませんか、、、
例えば日本人全員の身長を母集団として、
100人サンプルを持ってきては平均を取る(もちろんサンプルの抽出は理想的な無作為抽出)、、、これを繰り返して分布を作成。
次は1000人で同様の操作、10000人で同様の操作、、、正規分布に近づくような気がしますが、そんなには甘くはないですか。
残念(?)です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 統計学 母集団分布を平均 μ, 分散 σ2 の正規分布と想定し, 母集団から無作為抽出した標本のデータ(標本 4 2023/01/30 20:25
- 統計学 ある集団の平均身長を調べたい. 集団全体を母集団とし, 母集団から無作為抽出した15人の平均身長が1 1 2023/02/03 15:26
- 統計学 統計学 最大値の標準偏差 15 2023/02/02 18:36
- 数学 数学の答えと解き方を教えてください。 問:ある(人数の非常に多い)集団から無作為に6名を選んで身長を 4 2022/12/14 10:06
- 統計学 確率統計の問題です。 3 2022/04/07 04:39
- 統計学 統計の問題について教えてください。 4 2023/04/27 18:02
- 数学 数学の問題です。 問1: ある(人数の非常に多い)集団から無作為に6名を選んで身長を測ったところ、そ 2 2022/12/09 12:03
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 区間推定 母集団は正規分布に従い,母分散は σ2 = 112 1 2023/01/31 18:57
- 統計学 統計学の問題です。 数学 51 49 23 77 78 56 44 37 7 29 80 61 36 1 2023/02/03 15:24
- 統計学 不偏分散について 3 2022/03/29 15:57
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
統計でいう「n」は、何の略な...
-
N数?n数?サンプル数の「エヌ...
-
標準体重の求め方
-
評価者により採点に差が出るこ...
-
母集団のばらつきをサンプルか...
-
t検定のt値について
-
離散確立変数の確立分布
-
有意差があってもサンプルサイ...
-
ベイズと頻度論はデータ量が多...
-
出口調査と結果分析(数学的根拠)
-
統計学でいうRSD%とは何ですか。
-
標準偏差バーをグラフに入れた...
-
統計学における有効数字につい...
-
標準偏差
-
ヒトの可聴周波数は20Hz~20kHz...
-
相対標準偏差についてですが…
-
幾何標準偏差の求め方
-
平均値と中庸値の違い
-
数学Bの「統計的な推測」の【復...
-
Excelで近似式の標準偏差を算出...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
統計でいう「n」は、何の略な...
-
N数?n数?サンプル数の「エヌ...
-
統計学-母集団が少ない場合の...
-
評価者により採点に差が出るこ...
-
t検定のt値について
-
信頼区間から標準偏差の求め方
-
適正なサンプル数について
-
標準体重の求め方
-
有意差があってもサンプルサイ...
-
統計学の検出力の問題が分から...
-
母集団と確率空間の違い
-
多数決 統計学に詳しい方教え...
-
エクセルで「集団から最大値、...
-
時系列データの検定
-
ある集団の平均身長を調べたい....
-
ある試験の受験者全員の平均点...
-
点推定と区間推定について
-
モデルのパラメータの定義がい...
-
Zスコアと標準偏差について
-
アンケート調査に必要なサンプル数
おすすめ情報