統計の問題について教えてください。

1600人の母集団から何人かを標本として非復元して英語のテストを受験してもらい、
それらの点数の標本平均によって母平均を推定する。
100人を抽出するとき標本平均の分散が1.12とする。
また標本平均の分散を0.5以下に抑えたい時何人以上を抽出しなければならないか。

公式：
n >= N * σ^2 / (σ^2 + (N-1) * c)

この問題なのですが母分散(σ^2)を求める必要があるかと考えますが標本平均の分散からどのようにして母分散を推定するのでしょうか。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： qas2021 回答日時： 2023/04/27 22:00

> 100人を抽出するとき標本平均の分散が1.12とする。

の分散は、標本平均の分布の分散のことでしょうね。
その場合は、100×1.12が母分散の値になります。
あとは、N = 1600, c = 0.5 を代入して計算すれば良い。

それとNo.2さんがいう正規分布は、この問題では関係ありません。
（分散が存在する分布であればなんでも良い）

母分散がわかっているのであれば、母平均だって分るのではという指摘については同意します。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/27 22:15

非復元抽出ときたので、有限母集団修正のことかと思ったが、何か違うみたい。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/27 21:39

「1600人から100人を選ぶ選び方 (1600C100通り）それぞれについて標本平均を計算した値」という母集団について、その値の分散が1.12だということですね。

それが3桁もの精度で算出できるためには、もともと1600人全体の分散（母分散）が分かっていて計算したか、あるいは、「1600人から100人を選んで標本平均を測る」ということを何度も何度も繰り返して調べたか、どっちか。で、前者ならば母分散がわかってるなら母平均だって分かってるだろうよ、後者ならば勿体ぶってないで1600人全員の点数を調べたほうがましじゃん、ってことです。
　また、「公式」も、分母の(N-1)*cのところはN-1だろうがNだろうがNが100もあったら実務上はどっちでも関係ないわけで、くだらんことです。

　つまり、この問題は現実離れした前提を隠している、計算のための計算をやらせるクソ問題であることを認識しておくのが宜しいでしょう。

　ってのはさておき：

> 標本平均の分散からどのようにして母分散を推定するの

　標本の値をx[1]〜x[100]、標本平均をmとすると、
　　m = (1/100)x[1] + … + (1/100)x[100]
　さて「母集団が正規分布に従う」という仮定のもとでなら、mの分散(標本平均の分散)をs^2とするとき、x[j]の分散は（jによらず）σ^2であることを使って、
　　s^2 = ((1/100)^2)(σ^2) + … + ((1/100)^2)(σ^2)
　　= (σ^2)/100
である。だから
　　σ^2 = 100(s^2)
です。(標本分散と標本平均の分散とを混同しないよう注意。）

　しかし、「母集団が正規分布に従う」という仮定に無理がないかどうかは、少なくとも標本をヒストグラムにして眺めてみるぐらいのことはしないと判断できんですね。やっぱしクソ問題。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/27 20:34

母分散の推定値は、標本から得られる「不偏分散」を使います。

＞100人を抽出するとき標本平均の分散が1.12とする。

この意味がよく分かりませんが（標本平均は１つに決まってばらつきません）、「標本の分散が 1.12」ということであれば、不偏分散は
　1.12 * 100/99 = 1.131313･･･
になります。
これが「標本から得られた、母分散の推定値」になります。


＞また標本平均の分散を0.5以下に抑えたい時

これは何をしたいということでしょうか？
標本平均は「１つ」に決まって変動しません。
標本分散も「１つ」に決まって「ある範囲に抑える」ことはできません。

母平均の推定値（信頼区間）を一定範囲に抑えることはできると思いますが、そのときの「0.5」とは何に相当しますか？
「100点満点の得点」ですか？
また、「公式」とやらの「c」とは何？