青い下線部分はなぜそうなるのですか

青い下線部分はなぜそうなるのですか

No.1 ベストアンサー 回答者： なんやかんや耐える 回答日時： 2024/03/03 16:29

0からαとαから1までではグラフの式が違うよ。

積分の中身のグラフを書いてみればわかるけど、符号が逆になるね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/04 13:54

絶対値とは何か、定義を確認しましょう。

｜x³ - a³｜ の値は、
x³ - a³ ≧ 0 のとき x³ - a³,
x³ - a³ ≦ 0 のとき -(x³ - a³) です。

x³ - a³ ≧ 0 は x ≧ a と同値、
x³ - a³ ≦ 0 は x ≦ a と同値ですね。

それが青下線のようになってしまうのは、
この問題では 0 ≦ x ≦ 1 の範囲のことしか考えていないためです。
その範囲外でどうなるかは知ったこっちゃないので、
a ≦ x ≦ 1 の範囲では x³ - a³ ≧ 0 だから ｜x³ - a³｜ = x³ - a³,
0 ≦ x ≦ a の範囲では x³ - a³ ≦ 0 だから ｜x³ - a³｜ = -(x³ - a³)
とまとめているのです。

0 < a ≦ 1 は、問題で与えられていますよね。これがなかったら、
a が 0〜1 に入るか否かで範囲分けが違ってきて、場合分けが面倒でした。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/03 20:12

絶対値は中身の正負で場合分けして外します。

A>0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A (>0)
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)
等号は両方で成り立つので、どちらに含めてもよいです。

ここでは単なる「場合分け」だけでなく「積分範囲」も示しているので、「境界値」を両方に含めています。