導線中の直流電流の分布は？

例えば、半径a(m)の導線に,電流Ｉ(A)の電流が流れる時、
導線の断面での電流の分布は、どのようになっているの
でしょうか？

(1)電流は均一に流れてるのかなと思っていたのですが、
導線中の電子には、直流電流で発生する磁界で、
中心方向へのローレンツ力が働いて中心寄りの電流分布に
なるようにも思えるのですが。

(2)電子が中心寄りに流れるした場合と、導線の断面では、
中心方向のの電界が発生して電子は外周向きのクーロン力
も発生してるようにも思えます。

簡単な問題かと思いますが、どうも正しい考え方が出来てないようです。
すみません、アドバイスをお願いします。

No.9 回答者： physicist_naka 回答日時： 2002/09/10 14:10

No.5のものですが、ちょっと計算してみました。

結果はNo.5で言ったことと少し異なりました。

ベクトルで扱えるもの（E、B、v・・・）はベクトルと思ってください。
　ローレンツ力：-evB
　電場による力：-eE
の力がつりあうので、
　E=-v×B　　　　　　　　　　　　　　(1)
となります。マックスウェル方程式より、
　ε_0 divE=ρ　　　　　　　　　　　　(2)
(2)に(1)を代入して、
　-ε_0 div(v×B)=ρ
　-ε_0 {B・(rot v)-v・(rot B)}=ρ　(3)
ここで、電流密度iは空間的に一様と仮定すると、
　rot v=0　　　　　　　　　　　　　　(4)
マックスウェル方程式より、
　rot B=μ_0 i　　　　　　　　　　　　(5)
よって(3)は、
　ε_0 μ_0 v i = ρ　　　　　　　　　(6)
ε_0 μ_0=c^(-2)、i=-nevより、
　ρ=-i^2/(nec^2)　　　　　　　　　　(7)
となり、空間的に一様に帯電するという結果になりました。
これは仮定（電流密度iは空間的に一様）と矛盾しないので、
仮定は正しかったということになります。
ただ、電流を流すと帯電するという話は聞いたことがないので
たぶんかなり小さいのだと思います。
計算してみればいいのでしょうけど・・・

この回答へのお礼

＞空間的に一様に帯電するという結果になりました。

実は、マックスウェルの方程式(感覚的な部分も含めて)の理解が不十分な私ですので、とても参考になります。
じっくり勉強してみます。

どうもありがとうございます。

お礼日時：2002/09/10 20:17

No.8 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/10 02:07

やや不正確なところや説明足らずなところがありましたのでまとめておきましょう

（１）
電磁場は真空中のマックスウェルの方程式とニュートン第２・３則で解くべきものである
（２）
物質が存在するときそれが分極や磁化が行われ（１）で電磁場を説くのは大変になるためεとμが定義でき巨視的、近似的結果で満足できるならばＤとＨを新たに定義してできる媒体中のマックスウェルの方程式で真空中のマックスウェルの方程式を置き換えることができる
（３）
粒子の運動は巨視的に見ているため真空中のマックスウェルの方程式で解くべきであるが例外として空気中の粒子の運動などは真空中の運動と同じように空気中のマックスウェルの方程式が使える
（４）
銅線中を電流が流れる場合には銅線は帯電していてローレンツ力よりクーロン力の方が強い
（５）
銅線中を正孔と電子が同じ割合で反対方向に移動している場合は片方が移動している場合よりも２倍の電流が流れ銅線は電荷を帯びていないがこのとき正孔と電子は合体してしまうのでこのような状態は作り出せない
（６）
もし銅線が帯電しないで電流を流すことができれば同一方向の電流はローレンツ力によって引き合うので中央に流れる電流が多くなる
（７）
流れる電流が一定ならば電子が早ければ早いほどローレンツ力が強くなるので中央を流れる電流が増えるがローレンツ力は常にクーロン力に負けるので外側に流れる電流のほうが多い
（８）
高周波のような電流はいったり来たりするので電子の速度は速くなく電流は外側を流れる傾向が強い

以上私の結論です
間違っているかもしれないのでそのときには悪しからず

この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます。

今日は、仕事帰りに図書館で関連有りそうな本を借りてきました。

勉強不足でまだまだ理解出来ないこといっぱいですが、
アドバイスを参考にさせていただき、考えてみます。

ほんとに多くのアドバイスありがとうございます。

お礼日時：2002/09/10 19:46

No.7 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/09 02:41

銅線の円状のクローズした輪を作って円の中心を中心に輪の周方向に輪を回して見ましょう

このとき銅線が帯電していないと電流が流れたことにはなりません
このとき電流が流れたことになるためには銅線が帯電している場合です
電源によって供給される正孔や電子などの過剰電荷が存在していなくては電流は流れたことにはならないのです
電子が過剰で移動している場合は負
正孔が過剰で移動している場合は正
に銅線は帯電しています
過剰電子と過剰正孔の密度が同じで反対方向に移動している場合は電流密度が２倍になると思いがちですが
その場合は回る輪のように銅線のどこの部分も中性で電荷は移動していないのと同じではないでしょうか？

この回答への補足

早速補足頂きましてありがとうございます。
お礼遅くなりまして、どうもです。

電流が流れる時は、導線が正か負に帯電していること・・知りませんでした。

ちょっとこの辺のところ興味あり勉強してみたいのです。
電磁気学や物理学の物性辺りの内容で調べれば良いのでしょうか？

どのようなキーワードで調べれば良いかなどを
（○○理論とか、○○モデルとか名前ありましたら）教えていただければ、助かります。。

お時間あるときで結構ですので。

補足日時：2002/09/09 22:30

No.6 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/08 19:26

電流が一様に流れる場合自由電子と（電子を欠いた）金属原子との電荷量は

打ち消しあってρ＝０[Ｃ]とはならないのでしょうか？：
（ρの単位は［Ｃ／ｍ＾３］です）

電子が流れている場合すなわち電荷が移動している場合必ず電子が空いている状態が発生し電荷密度が発生するのです
電子の速度が速くなるとあいている状態が早く埋め合わされるの電荷密度は小さくなります
しかし電子は光の速度を超えることができないので電流密度がある限り電荷密度が存在します
なお電子の速度が速くなればなるほど導体中央にも電荷が存在しやすくなるのでその場所での電流密度も上昇します
高周波では電子がいったりきたりしますので電子の速度が遅く電流密度が表面ほど大きいのです

真空中では、μ0・ε0＝(１/Ｃ0)＾２と理解してますが、
導体中でのμ・ε＝(１/Ｃ)＾２でのＣの意味がピンとこなくって・・・：

μとεは０を書く手間を省いてあなたの言うμ０とε０の意味で使いました
そもそもあなたが思っているμやεはマックスウェルの方程式を解きやすくするために巨視的に見て近似的に導入したもので便宜的なものです
分極や磁化が起きると真空中のマックスウェルの方程式を解くことは大変なのでこのようなものが導入されましたが大変でなければできるだけ真空中のマックスウェルの方程式で解いたほうが正確なのです
ＥとＢだけが電磁界の本質であってＤは単なるＥの従属物でありＨは単なるＢの従属物です（もちろんＤ－Ｈを独立と考えればＥ－Ｂは従属物です）
したがって粒子の運動を考える場合には微視的に見ているわけですから真空中のマックスウェルの方程式を使わなければなりません

この回答への補足

何度もお返事いただきまして、本当にありがとうございます。

我ながら知らないことが多くて、苦戦してます・・

＞電子が流れている場合すなわち電荷が移動している場合
必ず電子が空いている状態が発生し電荷密度が発生するのです。

このときの、電荷密度は正負のどちらに帯電しているのでしょうか？
電流が流れていても、導線は帯電しないと思ってましたので。

御回答、急ぎませんので。

補足日時：2002/09/08 21:42

No.5 回答者： physicist_naka 回答日時： 2002/09/08 17:07

定性的な説明ですが・・・

結局(1)によるローレンツ力と(2)によるクーロン力がつりあった
状態になっていると思います。
その結果、電子は若干中心に濃度が大きい状態になっています。
しかし、流れる電流分布はほとんど変化ないでしょう。
電子濃度の変化はあまりにわずかですし、それによる電気抵抗率の
変化もやはり無視できるからです。
そもそも導線自身が作る導線内部の磁場は非常に小さく、
このような効果が現実に考慮されることは多分ないと思います。
外から積極的に磁場をかけたのが「ホール効果」ですね！

この回答への補足

お返事、ありがとうございます。

＞結局(1)によるローレンツ力と(2)によるクーロン力がつりあった状態になっていると思います。

私も、そのようなイメージをしてます。
ところで、このつりあいの時って、数学的には(数式では）
どのような電子(電流)分布になるのかなあ　
と考えてますが、うまく解けません・・・

どなたか、教えて下さいませ！

補足日時：2002/09/08 18:23

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/08 13:08

電荷が一様で電流が一様とし

銅線の中心からの距離をｒとすると
その点のＥはガウスの定理より
Ｅ＝ρ・ｒ／２／ε
その点のＢは電流密度をｉとするとアンペールの法則より
Ｂ＝μ・ｉ・ｒ／２
一方
ｉ＝ｖ・ρ
ローレンツの力は
Ｆｒ＝ｅ・ｖ・Ｂ
クーロンの力は
Ｆｑ＝ｅ・Ｅ
したがって
Ｆｒ／Ｆｑ＝ｖ・Ｂ／Ｅ＝μ・ε・ｖ＾２＝（ｖ／ｃ）＾２
ただしμとεは粒子の運動を扱っていて
巨視的な見方をしていないのでので真空のものでなければならない
したがってｃは光の速度である
したがって
Ｆｒ／Ｆｑ＜＜１
でありローレンツの力はクーロンの力より圧倒的に小さいので
クーロンの力が勝つ

この回答への補足

再度のお返事ありがとうございます！！

ちょっと未だ解らないところがありまして・・・

＞その点のＥはガウスの定理より
Ｅ＝ρ・ｒ／２／ε
でのρ（電荷密度：[Ｃ/ｍ３]）ですが、電流が一様に流れる場合、
自由電子と（電子を欠いた）金属原子との電荷量は
打ち消しあってρ＝０[Ｃ]とはならないのでしょうか？

あと、真空中では、μ0・ε0＝(１/Ｃ0)＾２と理解してますが、
導体中でのμ・ε＝(１/Ｃ)＾２でのＣの意味がピンとこなくって・・・

どうか、よろしくお願いします。

補足日時：2002/09/08 14:37

No.3 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/08 09:51

同一方向に流れる電流同士はローレンツの力＝フレミングの左手の法則によってひきつけ合います

一方同符合電荷はクーロン力により反発しあい離れようとします
結果クーロン力が勝って電子（電流）が表面に押しやられるのです
高周波だといったり来りして電子速度が相対的に遅くなりクーロン力がより強くなります
したがって表皮効果が起きるのです

この回答への補足

まず、私の質問内容の訂正を
「今回の質問の電流Ｉ(Ａ）は、直流電流」
って事で、お願いします！

nubouさん、お返事ありがとうございます！

このように考えてみました。（直流電流の場合）
電子は、ローレンツ力で、導線の中心に移動しようとするが、
電子が中心側に寄ると、クーロン力が働き外向きの力が働く
依って、電子は導体中を均一に流れる。
（合ってるのかな？）

どなたか、教えて下さい！

補足日時：2002/09/08 11:47

No.2 回答者： pen2san 回答日時： 2002/09/08 09:11

ローレンツ力よりもフレミングの法則の方が大きな影響を与えます。

２本の平行した銅線に同一方向に電流を流すと斥力を生じ銅線が離れます。同一の原理で同一導体内に電流が流れるとお互いが斥力を生じ電流が導線の表面に集中します。これを表皮効果と言い、高周波や大電流の際に無視できなくなります。
高圧鉄塔の送電線はコストを下げる事と張力に耐えるため、中央部は鋼線を束ねたワイヤーで構成され、その周りをアルミ製のワイヤを束ねたもので構成されています。電気抵抗の違いと表皮効果により電流の多くはアルミ部分を流れ鋼線部分を流れる電流は少なくなっており、それにより発熱が少なくなっています。

また、数100MHz以上では表皮効果は顕著で銅パイプ等が使用されています。　また、大出力中波送信所の送信機ろアンテナを結ぶ所もパイプが使われている様です。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます！

＞２本の平行した銅線に同一方向に電流を流すと斥力を・・
ですが、「引力」の間違いではないでしょうか？
それと、表皮効果は直流電流の時は発生しないと思いますが・・・

補足日時：2002/09/08 09:37

No.1 回答者： arumagiro 回答日時： 2002/09/08 08:48

電流分布についてはわかりませんが、確かに均一には流れていないかと思います。

＞ローレンツ力が働いて中心寄りの電流分布に
こちらについては、知らないのでわかりませんが分布的には外側に集まるかと思います。
電流の発生させた磁界により外向きの力がかかるかと思いますので。
（フレミングの法則により）

２についてはよくわかりませんね。

ちなみに高電圧の送電線では重量軽減の為に、中空のものもあったかと思いますが、いかがでしょうか。

この回答への補足

早速のアドバイスありがとうございます！

＞電流の発生させた磁界により外向きの力がかかるかと思いますので。
磁界により(電子には)内向きの力がかかるんじゃないかなと思いますが・・・
もうちょっとよく考えてみます！

補足日時：2002/09/08 09:16