棒の釣り合い条件

Question

長さ2L,質量Mとする一様な棒が水平な床とそれに垂直な壁に立てかけられ、床にたいしてΘの角度をなしている。このときの床に対する棒の摩擦係数をu1、壁に対する摩擦係数をu2とするとき、この棒の釣り合う条件を求めたいのですが。

図がないのでわかりずらいかもしれませんが、

重力加速度をg
Rx：壁から受ける垂直抗力
Ry：床から受ける垂直抗力
fx：Ｂ点での摩擦力
fy：Ａ点での摩擦力

とします。

水平方向の釣り合いから
Rx - fx = 0・・・(1)
鉛直方向の釣り合いから
Ry + fy -Mg = 0・・・(2)
Ａ点の周りのモーメントから
Ry + fy -Mg = 0・・・(3)
摩擦力の関係から
fx = u1・Ry、fy = u2・Rx・・・(4)

と、式まではたてられたのですがこのあとどうすればいいのでしょうか？
まず、(1)～(4)の式のうち何から解いていき、最終的に何を求めれば？で止まってます。

htms42 · Accepted Answer

＃４、＃７です。

＃７の補足について

この問題は式３つでは解くことができません。
（＃４、＃７の中では疑問として書かせてもらいました。＃８で探していただいた参考ＵＲＬの中にも出来ないということが書かれています。）
改めてまとめてみます。
角度Θを与えたとして
未知数はＲｘ，Ｒｙ，ｆｘ，ｆｙと４つです。
式が４つ必要です。
（１）よくある問題は壁には摩擦力が働かないとしています。ｕ２＝０です。ｆｙ＝０となります。
・・・これは現実的ではない条件になります。単に問題を解けるようにするためだけのものです。

（２）ｆｙ＝ｕ２Ｒｘという条件式を使うと解くことができます。
ｆｘを一般的に求めることが出来ます。ｆｘ＜ｕ１Ｒｙの範囲で角度を変えることができます。ｆｘ＝ｕ１Ｒｙのときの角度は限界の角度だろうと考えられます。
・・・これは物理的に棒のどのような状態に対応しているかが不明です。
「釣り合いの状態が実現している角度がある範囲で決まる。しかし角度を変えても壁との摩擦が静止最大摩擦になっている」という状態の意味が不明なのです。素直に考えて限界の角度よりも大きい角度であれば床の摩擦も、壁の摩擦も静止最大摩擦よりも小さくなっている角度が存在するはずです。たぶん不適当な仮定だろうと思います。

（３）床の摩擦も壁の摩擦も静止最大摩擦になっている（ｆｘ＝ｕ
１Ｒｙ，ｆｙ＝ｕ２Ｒｘが成り立っている）とすると式が５つになりますからＲｘ，Ｒｙ，ｆｘ、ｆｙ、tanΘ　の５つが決まります。（tanΘは（２）で考えた限界の角度になります。）

質問者様が解くとしたらたぶんこれになると思います。

・・・確かにtanΘは決まります。上の（２）ではこの角度を限界の角度としています。でも本当にその角度が限界の角度なのかについては「？」がつきます。片方はまだ最大摩擦に達していないのに他方では最大摩擦の値を超えて釣り合いが成り立たなくなっているということは起こらないのかが吟味されていないからです。ｘ方向、ｙ方向と方向が違うのですから同時に両方で最大摩擦になっているという保証はないのです。これを確めるためには一般的に解いて釣り合いの破れる条件を求める必要があります。ところが一般的には解くことができません。
だから「？」はそのまま残ります。
（これについて参考ＵＲＬでは棒が変形する（棒を弾性体と考える）という効果を取り入れると解くことができるとしています。）

（４）棒を釣り合いの位置にセットすれば（棒を壁に立てかけて釣り合っていれば）Ｒｘ，Ｒｙ，ｆｘ、ｆｙは決まっているはずです。ある位置で釣り合えばそれより大きい角度では釣り合うと考えられますから角度Θは外部からセットできる量であることになります。
式が不足して解くことができないというのが「？」となったところです。

unoki · Answer

#6です。ネット検索で次のようなものがありました。
http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/ypc/ypc07x.htm
物理教師がよく出会う問題２　右近さんの発表
　壁に立てかけた棒が受ける力を求める問題は，力のモーメントの例題として典型的なものだ。床から受ける力のｘ，ｙ成分と，壁から受ける力のｘ，ｙ成分を求めるとすれば，未知数は全部で４つである。しかしｘ，ｙ方向のつりあいの条件式，力のモーメントのつり合いの条件式を書き下すと，条件式は３つしかない。これでは連立方程式が解けない。そこで普通，教科書や問題集では，棒は壁からは摩擦力を受けないとして，壁から受ける力をx成分のみとしている。もちろんこうすれば答えることができるが，ここで疑問がわく。そもそも壁に摩擦力が働かない，とするのは非現実的で、単に問題を解けるようにするための仮定に過ぎない。それではこうした場合，棒が受ける力は原理的に計算することができない，ということだろうか。
　実は右の写真のような簡単な問題も、棒を剛体と考えると解くことができない。
　　例会で右近さんは，棒を剛体とする限り，この問題を原理的に解くことができないこと，棒を弾性体として扱わなければならないことを例示し，棒が受ける力を求めるための一つの考え方を紹介してくれた。弾性体の棒を仮定すれば、妥当な条件の下で解を得ることができる。

私の回答はこれで終わりにします。誤解だらけですみませんでした。

htms42 · Answer

＃４です。
＃６様へ
＞　0≦fx≦u1・Ry　　ここに、u1は床とはしごの最大静止摩擦係数
＞　0≦fy≦u2・Rx　　ここに、u2は壁とはしごの最大静止摩擦係数
になるのは分かっています。
でもこれでは解くことができません。
限界の角度よりも大きい角度で立てかけると釣り合うわけですからＲｘ，Ｒｙ，ｆｘ，ｆｙが「決まるはずです」。このときの摩擦力は最大摩擦力よりも小さいはずです。でも決める式が不足しています。等式は３つしかありません。不等式があってもだめです。「決まりません」。
何か考え方で補う必要があるようです。
私がわからないと書いたのはこの部分です。

＞角度の範囲　　Θ≧tan-1｛2u1／（1-u1u2）｝
これは違うと思います。

私の計算も間違っていました。
ｔａｎΘ＞（１－ｕ１ｕ２）／２ｕ１
Θ＞ｔａｎ-1{（１－ｕ１ｕ２）／２ｕ１}
ですね。

ｕ２＝０としてみてください。床にだけ摩擦のある場合になります。
摩擦が小さくなれば棒を立てなくてはいけない（角度を大きくしなければいけない）はずです。

質問者様へ
釣り合いの条件を求めるというのには限界の角度にあるときだけではなくて釣り合っているとき（限界の角度よりも大きい角度で立てかけたとき）の力を一般的に求めるということも含まれていると考えました。上に書いたように一般的に求めることができなくて「？？？？」という状態になっています。

unoki · Answer

#4さんへ

実際の現象に近い（例えば床と壁にはしごを立てかける）問題と考えると、(4)式が
　0≦fx≦u1・Ry　　ここに、u1は床とはしごの最大静止摩擦係数
　0≦fy≦u2・Rx　　ここに、u2は壁とはしごの最大静止摩擦係数
のように不等式としての条件に変わり、角度の範囲
　　Θ≧tan-1｛2u1／（1-u1u2）｝が求まります。

ご参考まで

ddtddtddt · Answer

回答者どうしの議論はルール違反なので、これ一回にします。

　#3さんへ。何故「解は角度」と仰ったかのお気持ちはわかりますし、仰った事に反対しているわけでもないのです。
　ただ別のタイプの釣り合い問題もありますので、#2で言ったような事で整理すると、手順が整理しやすいかな？、と思ったわけです。
　この中には、反力が先に計算されて、その結果を用いて位置が自明に出てくる場合も含まれます。
　なので#2は、アドバイスです。

htms42 · Answer

私も解いてみました。
途中でわからなくなりました。
わかった範囲で書かせていただきます。

（ｉ）普通は角度Θを決めて抗力や摩擦力の大きさを求めるという問題です。角度Θを決めるということは「ある角度の位置で釣り合っているとすると」ということでそのための条件を求めることになります。Ｗ＝Ｍｇは与えられています。このとき条件式は３つ（質問文の中の式（１）～（３））になります。摩擦係数の入った式（質問文の中の式（４））を使うことは出来ません。摩擦係数は静止「最大」摩擦力と垂直抗力の関係を示しているものだからです。ある角度で棒を立てかけただけです。その位置が摩擦の限界の位置であったということではないはずです。
未知数はＲｘ，Ｒｙ、ｆｘ、ｆｙの４つになっています。解くことができなくなります。

（ii）床の摩擦も壁の摩擦も静止「最大」摩擦になっているとすると式が５つ出てきます。Ｒｘ，Ｒｙ，ｆｘ，ｆｙ，Θが決まります。限界の角度Θ’を求めるということになります。この角度よりも大きい角度であれば釣り合います。

（iii）Θ’＜Θとします。
このときは釣り合っているのですからＲｘ，Ｒｙ，ｆｘ、ｆｙが決まるはずです。でも限界の角度ではないのですから摩擦力も最大ではないはずです。このときは式が不足します。（ｉ）に戻ります。分からないのはここです。
２つの摩擦のうち片方が最大摩擦になっているとすると解くことができますがそういうことがいつも成り立っているということがあるとは思えません。片方（壁の方）だけが最大摩擦力になっているとしても角度は変えることができます。棒の置き方を変えても壁との摩擦は常に最大摩擦になっているというのはどういうことでしょう。これもまた分からないところです。

（iv）よく見る問題では床の摩擦しか考えていません。ｕ２＝０だとしています。
この場合は
Ｒｘ＝ｆｘ、Ｒｙ＝Ｍｇ，２Ｒｙ＝Ｍｇ＋２ｆｘｔａｎΘ
ですから
Ｒｘ＝ｆｘ＝Ｍｇ／（２ｔａｎΘ）
となります。この位置で釣り合っているためにはここで求めた摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという条件が満たされていなくてはいけません。
ｆｘ＜ｕ１Ｒｙ
より
ｔａｎΘ＞１／２ｕ１
です。
限界の角度はｔａｎΘ＝１／２ｕ１で決まります。

（ｖ）ｕ２≠０でｆｙ＝ｕ２Ｒｘが成り立っているとします。
これがどういう状況かは分かりませんが解くことはできます。
ｆｘ＝Ｍｇ／（２（１＋ｕ２）ｔａｎΘ）
です。ｆｘ＜ｕ１Ｒｙですから
ｔａｎΘ＞（１＋ｕ１ｕ２）／２ｕ１（１＋ｕ２）
になります。この範囲で角度を変えることができます。
棒の置き方を変えても壁と間の摩擦は最大摩擦になっています。
「？！」です。

unoki · Answer

#2さんへ
(1)、(2)、(4)式（即ち、力の釣り合いと摩擦力の関係）のみで反力および摩擦力は決定されます。ここまでの段階では角度は無関係です。(3)式（正式のモーメント釣り合い式）と先に求まった反力、摩擦力から角度が求まります。
従って解は角度と言ったわけです。

ddtddtddt · Answer

式に関しては、#1さんの仰る通りと思います。条件が足りなくて不定解が出てしまって、混乱されたと想像します。

＞解は角度Θを求めることです。
　この場合は、これもその通りなのですが、もう少し広い視点があったほうがいいと思います。

　力学には大別して二種類あります。動力学と静力学です。動力学では物の運動を調べます。従って、作用する力は釣り合っていません。そこでの目的は最終的には、物の位置を時間の関数として計算する事です。

　それに対して静力学は、作用する力が釣り合っています。今回の問題は静力学です。そこでで知りたい事は、釣り合う力と釣り合う位置です。力が釣り合うためには、「支持」されていなければなりません。支持点においては、外力（重力など）と釣り合うために「支持力（反力と言います）」が発生します。これを知りたいわけです。
　なので静力学の計算においては、反力を求める事を念頭に置いて計算を進めていけば、釣り合う位置（θなど）は、その過程で自然に副産物として計算する事になります。

unoki · Answer

(3)式が誤りです。（(2)式と同じになっていますよ）
角度Θと棒の長さ2Lがはいった関係式（モーメント＝力×腕の長さ）になるはず。解は角度Θを求めることです。そうすると棒の位置（姿勢）が決まるでしょ。

棒の釣り合い条件

＃４、＃７です。

この回答への補足

#6です。

＃４です。

この回答への補足

#4さんへ

この回答への補足

回答者どうしの議論はルール違反なので、これ一回にします。

私も解いてみました。

#2さんへ

式に関しては、#1さんの仰る通りと思います。

(3)式が誤りです。

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