連立微分方程式について

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質問者：schlussel
質問日時：2008/01/08 18:48
回答数：2件

工学部４年で卒研をしているのですが、
以下の連立微分である非線形のカオス系の結合システムの誤差ダイナミクスが以下のようになります。
そこで偏差がゼロになるような結合ゲインKの条件を求めたいのですが
非線形項がどうもきになり思うようにいきません
何かしら線形化するようなことはできないのでしょうか？
微分方程式は時間関数です。

e1=x1-x4
e2=x2-x5
e3=x3-x6
α=-1/0.27
連立微分方程式
e1'=(α-K)e1-αe2
e2'=-2.8αe1+α/10e2+10α(x1x3-x4x6)
e3'=α/3.75e3-2.5α(x1x2-x4x5)

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回答 (2件)

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No.2

回答者： noname#57316
回答日時：2008/01/09 13:04

伝達函数を求める時に線形化を行いますが、その方法が適用できるとして微分方程式を導いてみます。

時刻、t～t+δt　の間の変化量を求めます。
時刻　t　の時：
e1=x1-x4
e2=x2-x5
e3=x3-x6
α=-1/0.27

時刻　t+δt　の時：
e1+δe1=(x1+δx1)-(x4+δx4)
e2+δe2=(x2+δx2)-(x5+δx5)
e3+δe3=(x3+δx3)-(x6+δx6)

連立微分方程式を以下のように書きます。
(d/dt)e1=(α-K)e1-αe2
(d/dt)e2=-2.8・α・e1+(α/10)・e2+10・α・(x1・x3-x4・x6)
(d/dt)e3=(α/3.75)・e3-2.5・α・(x1・x2-x4・x5)

これに、時刻　t+δt　の時の変数群を代入します。
(d/dt)(e1+δe1)=(α-K)・(e1+δe1)-α・(e2+δe2)
(d/dt)(e2+δe2)=-2.8・α・(e1+δe1)+(α/10)・(e2+δe2)
　　　　　　　+10・α・{(x1+δx1)・(x3+δx3)-(x4+δx4)・(x6+δx6)}
(d/dt)(e3+δe3)=(α/3.75)・(e3+δe3)
　　　　　　　-2.5・α・{(x1+δx1)・(x2+δx2)-(x4+δx4)・(x5+δx5)}

これらから、二次の微分の項を省略し線形化すると
(d/dt)δe1=(α-K)・δe1-α・δe2
(d/dt)δe2=-2.8・α・δe1+(α/10)・δe2
　　　　　　　+10・α・{(x1・δx3+x3・δx1)-(x4・δx6+x6・δx4)}
(d/dt)δe3=(α/3.75)・δe3
　　　　　　　-2.5・α・{(x1・δx2+x2・δx1)-(x4・δx5+x5・δx4)}

後は、以下の様にして変数の数を減らしていくのでしょうか。
(d/dt)〔δe1・e^{-(α-K)・t}〕=-α・δe2・e^{-(α-K)t}
(d/dt)〔δe2・e^{-(α/10)・t}〕=-2.8・α・δe1・e^{-(α/10)・t}
　+〔10・α・{(x1・δx3+x3・δx1)-(x4・δx6+x6・δx4)}〕・e^{-(α/10)・t}
(d/dt)〔δe3・e^{-(α/3.75)・t}〕
　=〔-2.5・α・{(x1・δx2+x2・δx1)-(x4・δx5+x5・δx4)}〕・e^{-(α/3.75)・t}